Второе понятие математического анализа, доставившее немало хлопот его создателям, — (определенный) интеграл— встречается, например, при вычислении площадей фигур, ограниченных целиком или частично кривымилиниями, объемом тел, ограниченных изогнутыми поверхностями(не плоскостями!), а также центров тяжести тел различной формы. Чтобы понять, какого рода трудности встречаются при использовании понятия определенного интеграла, рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции.

Предположим, требуется найти площадь криволинейной трапеции DEFG(рис. 6.1), ограниченной дугой FGкривой, задаваемой уравнением  y = x ²,отрезком DEоси  xи вертикальными отрезками DGи EF.В этом случае, как и при вычислении производной, мы хотим найти интересующую нас величину методом все более точных последовательных приближений. Нечто подобное предприняли математики XVII в.

Разобьем отрезок DEна три равные части (каждая длиной h) и обозначим точки разбиения через D ₁, D ₂,и D ₃(точка D ₃совпадает с точкой E,рис. 6.2). Пусть y ₁, y ₂,и y ₃— ординаты в точках разбиения. Тогда y ₁h, y ₂h,и y ₃h— площади трех прямоугольников, изображенных на рис. 6.2, а

— сумма площадей этих трех прямоугольников, являющаяся некоторым приближением к площади DEFG.

Лучшее приближение к площади криволинейной трапеции DEFGмы можем получить, уменьшая размеры прямоугольников и увеличивая их число. Предположим, что отрезок DEмы разбили не на три, а на шесть частей. На рис. 6.3, в частности, показано, что произойдет при таком разбиении со средним прямоугольником, изображенным на рис. 6.2: после разбиения его заменяют два прямоугольника. Поскольку за высоту каждого прямоугольника мы выбираем ординату  yв соответствующей точке разбиения отрезка DE,заштрихованный прямоугольник на рис. 6.3 уже не входит в сумму площадей тех шести прямоугольников, которыми аппроксимируется теперь площадь криволинейной трапеции DEFG.Следовательно, сумма

(где новое hв два раза меньше прежнего) дает более точное приближение к площади трапеции DEFG,чем сумма (5).

Относительно применяемого нами метода последовательных приближений можно в общем сказать следующее. Разделив отрезок DEна nчастей, мы получили бы nпрямоугольников, каждый шириной h.Пусть y ₁, y ₂, …, y _n— ординаты в точках разбиения (многоточие означает, что включены все ординаты  yв точках разбиения). Сумма площадей nпрямоугольников равна

(и на этот раз многоточие означает, что в сумму входят все промежуточные прямоугольники). Мы уже говорили о том, как влияет на точность приближения разбиение отрезка DEна все более мелкие части. Следовательно, приближенное значение площади криволинейной трапеции DEFG,задаваемое суммой (7), с увеличением nстановится все более точным. Но по мере возрастания nубывает h,поскольку h = DE/n.Итак, мы установили, что фигуры, ограниченные отрезками прямых (в нашем случае — прямоугольниками), позволяют добиться все более точного приближенного вычисления площади фигуры, ограниченной кривой.

Интуитивно ясно, что, чем больше число прямоугольников, тем точнее сумма их площадей аппроксимирует площадь криволинейной фигуры. Но если остановиться на 50 или на 100 прямоугольниках, то сумма их площадей еще не будет в точности равна площади аппроксимируемой фигуры, и математикам XVII в., придумавшим этот подход к вычислению площадей, пришло в голову устремить nк бесконечности. Правда, в то время еще не было вполне ясно, что такое бесконечность. Можно ли считать бесконечность числом, и если да, то как производить арифметические действия над этим числом? Получив выражения (7) для суммы площадей nпрямоугольников и обнаружив в них члены вида 1/nи 1/n ²,Ферма отбросил их на том основании, что, когда nобращается в бесконечность, эти члены пренебрежимо малы. Как и при выводе производной, Ферма полагал, что строго его идею удастся доказать скорее всего с помощью метода исчерпывания,введенного Евдоксом (довольно ограниченный и весьма непростой геометрический метод, которым искусно пользовался Архимед).

Из ранних попыток вычисления площадей и объемов с помощью определенного интеграла работа Бонавентуры Кавальери заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, она оказала большое влияние на современников Кавальери и на математиков последующих поколений и, во-вторых, довольно точно отражала типичные особенности характерного для того времени математического мышления, которое сегодня можно было бы назвать довольно смутным. Кавальери считал, что площадь фигуры, которая выглядит примерно так, как показано на рис.  6.1, состоит из бесконечно большого числа элементов; эти элементы он называл неделимыми.Вполне возможно, что неделимыми могли быть отрезки прямых. У самого Кавальери не было ясности относительно того, что именно представляют собой его неделимые. Он лишь утверждал, что если площадь фигуры разбивать на все меньшие и меньшие прямоугольники, как показано на рис.  6.3, то в конечном итоге получатся неделимые. В одной из своих книг, «Шесть геометрических упражнений» ( Ехеrcitationes geometricae sex,1647), Кавальери «объяснил», что рассматриваемая фигура состоит из неделимых, как, например, ожерелье — из бусин, ткань — из нитей и книга — из страниц. Руководствуясь столь неясным понятием, Кавальери тем не менее научился сравнивать две площади или два объема и получать правильные соотношения между двумя сравниваемыми величинами [38].

Критиков Кавальери его объяснения не удовлетворяли. Один из современников Кавальери, Пауль Гульдин (1557-1643), обвинил его в том, что он преднамеренно суживает рамки греческой геометрии, вместо того чтобы понять ее. А один из современных нам историков науки заявил, что если бы существовал особый приз за неясность, то названная работа Кавальери была бы тут вне всякой конкуренции и, безусловно, заслужила бы такую награду. Не имея возможности объяснить, как из бесконечного числа элементов (неделимых) можно составить фигуру конечной протяженности, Кавальери пытался уйти от ответа на вопрос, отказываясь дать сколько-нибудь точную интерпретацию неделимых. Иногда он в довольно туманных выражениях говорил о бесконечной сумме линий, не объясняя явно природу бесконечности. В других случаях Кавальери называл свой метод не более чем прагматическим приемом, позволяющим заменить сложный метод исчерпывания, применявшийся древними греками. По свидетельству Кеплера, приведенному в его сочинении «Новая стереометрия винных бочек» ( Stereometria doliorum vinariorum,1616) [39], Кавальери ссылался на современных ему геометров, обращавшихся с понятиями еще более свободно, чем он сам. Эти геометры, говорил он, вычисляя площади, подражают методу Архимеда, но им не удается найти тех полных доказательств, которые позволяли великому греку придать своим работам необходимую строгость. Тем не менее геометры, о которых шла речь, были довольны своими вычислениями, поскольку те приводили к полезным результатам. Встав, по существу, на ту же точку зрения, Кавальери счел, что и предложенный им метод неделимых может приводить к новым открытиям; однако, пользуясь этим методом, отнюдь не обязательно полагать, будто геометрическая фигура в самом деле состоит из бесконечно большого числа «неделимых» элементов. Метод предназначен лишь для того, чтобы установить правильные соотношения между площадями или между объемами, а эти соотношения сохраняют свою ценность и значение независимо от того, какого мнения придерживается тот или иной геометр относительно элементов, составляющих фигуру. В качестве последнего контрдовода против возражений своих критиков Кавальери указал, что концептуальные проблемы относятся к ведению философии и потому несущественны в практической работе с фигурами и телами. О строгости, заметил он, пристало заботиться философии — но не геометрии.