Рис. 6.4.Характеристический треугольник PQR.
Лейбниц широко использовал понятие интеграла и независимо пришел к идее суммирования элементарных прямоугольников, на которые разбивается криволинейная трапеция [ср. (7)]. Но переход от суммы конечного числа прямоугольников к сумме бесконечно большого числа прямоугольников был не вполне понятен. По утверждению Лейбница, сумма элементарных прямоугольников превращалась из конечной в бесконечную, когда ширина hпрямоугольников становилась «бесконечно малой». Для бесконечной суммы бесконечно малых величин — интеграла— Лейбниц ввел специальное обозначение ∫ydx.Он научился вычислять такие интегралы и независимо открыл основную теорему интегрального исчисления, утверждающую, что вычисление интеграла представляет собой операцию, обратную нахождению производной (антидифференцирование). После примерно двенадцати лет упорной работы над своим вариантом математического анализа Лейбниц опубликовал первую работу о новом исчислении в журнале Acta eruditorum(«Журнал ученых») за 1684 г. Наиболее выразительный отзыв на эту работу Лейбница дали его друзья, братья Якоб и Иоганн Бернулли, заявив, что это «не столько загадка, сколько объяснение».
Идеям Ньютона и Лейбница недоставало ясности, и критики не замедлили воспользоваться этим. Ньютон не снисходил до ответа на критические замечания, тогда как Лейбниц считал своим долгом ответить на возражения критиков. Его попытки объяснить в частной переписке свое понимание бесконечно малых величин столь многочисленны, что для подробного разбора их понадобилось бы немало страниц. В статье, опубликованной в томе Acta eruditorumза 1689 г., Лейбниц утверждал, что бесконечно малые — не действительные, а некие фиктивные числа. Но эти фиктивные, или мнимые, числа подчиняются тем же правилам арифметики, что и обычные числа.
В той же статье Лейбниц, исходя из геометрических соображений, доказывал, что высший дифференциал (бесконечно малая более высокого порядка, чем первый), например (dx) 2,относится к низшему дифференциалу dx,как точка к прямой, и что dxотносится к x,как точка к земному шару или радиус Земли к радиусу небесной сферы. Отношение двух бесконечно малых Лейбниц мыслил как отношение двух неопределенностей или бесконечно малых величин, которое, однако, можно выразить через конечные величины. Например, геометрически отношение dy к dxесть не что иное, как отношение ординаты к подкасательной ( TU к SUна рис. 6.4).
Одним из критиков, выступивших против Лейбница, был Бернгардт Нювентидт (1654-1718). Ответ Лейбница ему был опубликован в Acta eruditorumза 1695 г. Лейбниц обрушился на ревнителя математической строгости, справедливо заметив, что чрезмерная скрупулезность не должна отвращать нас от плодов нового открытия. Лейбниц утверждал, что его метод отличается от метода Архимеда только терминологией, и считал, что избранная им терминология в большей мере отвечает искусству совершать открытия. Термины «бесконечная» и «бесконечно малая» относятся к величинам, которые можно считать сколь угодно большими или сколь угодно малыми, когда требуется показать, что совершаемая ошибка меньше «наперед заданного числа» (т.е. что ошибки нет). Предельные величины, т.е. все эти «действительные бесконечности» и «бесконечно малые», можно использовать как удобный рабочий инструмент в вычислениях, подобно тому как алгебраисты с превеликой пользой используют мнимые корни. (Напомним, что во времена Лейбница мнимые корни имели весьма шаткий статус.)
В письме к Валлису, написанном в 1699 г., Лейбниц дал несколько иное объяснение бесконечно малых:
Бесконечно малые величины полезно рассматривать так, чтобы, когда требуется найти их отношение, их нельзя было считать нулем, но чтобы в то же время ими можно было пренебречь по сравнению с неизмеримо большими величинами. Так, в x + dxвеличина dxпренебрежимо мала. Иное дело, если нам требуется найти разность между x + dxи x.Точно так же не следует допускать, чтобы xdxи dxdxстояли рядом. Если необходимо продифференцировать [найти производную] ху,то мы пишем: (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy.Но член dxdyнеизмеримо мал по сравнению с xdy + ydx,и его надлежит отбросить. Итак, в рассмотренном нами частном случае ошибка меньше любой конечной величины.
Так Лейбниц отстаивал законность математических понятий, используемых в созданном им варианте анализа. Поскольку приводимые Лейбницем доводы не удовлетворяли его критиков, он сформулировал философский принцип, известный под названием принципа непрерывностии практически не отличающийся от того, которым пользовался Кеплер. Этот принцип Лейбниц сформулировал с самого начала своей работы по созданию анализа, изложив его в письме Герману Конрингу от 19 марта 1678 г.: «Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обладать тем же свойством».
В письме к Пьеру Бейлю, написанном в 1687 г., Лейбниц сформулировал свой принцип более полно: «В любом переходе, завершающемся неким пределом, допустимо использовать общее рассуждение, которое может включить этот предел». Свой принцип Лейбниц применил к вычислению производной dy/dxдля параболы y = x 2.Получив dy/dx = 2x + dx,Лейбниц заметил: «Согласно нашему постулату, допустимо включать в общее рассуждение и тот случай (рис. 6.5), когда ордината x 2y 2все более приближается к фиксированной ординате x 1y 1,пока наконец не совпадет с ней. Ясно, что тогда dxстановится равным нулю и должен быть отброшен…» Лейбниц умолчал о том, какие значения следует придавать dxи dy,входящим в левую часть равенства dy/dx = 2x + dx,когда dxобращается в нуль.
Рис. 6.5.Переход к пределу х 2→x 1Лейбницу.
Абсолютно равные величины, говорил Лейбниц, имеют, разумеется, разность абсолютно ничтожную.
Тем не менее можно вообразить переход или одно из обращений в нуль, при котором точное равенство или состояние покоя еще не наступило, но достигнуто такое состояние, в котором разность меньше любой заданной величины. В таком состоянии некоторая разность — какая-то скорость, какой-то угол — еще остается, но в каждом случае она бесконечно мала…
Можно ли строго или метафизически обосновать такое состояние мгновенного перехода от неравенства или равенства и сколь законны соображения, использующие бесконечно большие протяженности, продолжающие неограниченно возрастать, или бесконечно малые протяженности, — вопросы, которые мне, по-видимому, придется оставить открытыми…
Вполне достаточно, если каждый раз, когда речь заходит о бесконечно больших (или, точнее, о неограниченных) или о бесконечно малых (т.е. о самых малых из известных нам) величинах, мы условимся понимать, что имеем в виду величины бесконечно большие или бесконечно малые, т.е. сколь угодно большие или сколь угодно малые, вследствие чего допускаемая ошибка может быть меньше заранее заданной величины.
При таких допущениях все правила нашего алгоритма, изложенные в Acta eruditorumза октябрь 1684 г., могут быть доказаны без особого труда.
Далее следовало изложение правил, ничего, впрочем, не добавляющее к их обоснованию.
Сформулированный Лейбницем принцип непрерывности заведомо не был (и ныне не является) математической аксиомой. Тем не менее Лейбниц всячески подчеркивал важность этого принципа и неоднократно использовал его в своих рассуждениях. Так, в письме к Валлису (1698) Лейбниц, отстаивая использование характеристического треугольника (рис. 6.4) как формы, не имеющей размеров и потому остающейся неизменной, когда длины всех сторон треугольника обращаются в нуль, с вызовом спрашивал: «Кто не приемлет форму, лишенную размеров?» В письме к Гвидо Гранди (1713) Лейбниц утверждал, что бесконечно малая — это не простой и абсолютный нуль, а нуль относительный, т.е. исчезающая величина, которая, однако, сохраняет свойство той величины, которая, собственно, исчезает. Но в других случаях Лейбниц признавал, что не верит в истинно бесконечно большие или истинно бесконечно малые величины.
