По поводу отношения Гильберта к интуиционизму Вейль сказал в 1927 г.: «То, что с этой [интуиционистской] точки зрения надежна лишь часть классической математики, причем далеко не самая лучшая, — горький, но неизбежный вывод. Гильберту была невыносима мысль об этой ране, нанесенной математике».
И логицизм, и интуиционизм Гильберт обвинял в том, что они не смогли доказать непротиворечивость математики. В работе 1927 г. Гильберт торжественно заявил:
Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе боге, ни, как Пуанкаре [который считал, что доказать непротиворечивость системы, использующей математическую индукцию, невозможно], в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции [сводимости] или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе не правдоподобными.
В 20-е годы XX в. Гильберт сформулировал свой собственный подход к обоснованию математики и до конца жизни работал над ним. Среди работ, опубликованных Гильбертом в 20-е годы и в начале 30-х годов, особое место по богатству идей занимает работа «О бесконечности» ([44]*, 1925), где он формулирует замысел своей теории: «Эта теория ставит своей целью установить определенную надежность математического метода» ([50], с. 340).
Первый из тезисов Гильберта состоял в том, что, поскольку логика, развиваясь, непременно включает в себя математические идеи и поскольку для сохранения классической математики нам неизбежно приходится привлекать внелогические аксиомы типа аксиомы бесконечности, правильный подход к математике должен включать понятия и аксиомы не только логики, но и математики. Кроме того, логика должна чем-то оперировать, и это «что-то» состоит из внелогических конкретных понятий (таких, как понятие числа), воспринимаемых интуитивно еще до того, как мы начинаем рассуждать логически.
Принятые Гильбертом логические аксиомы несущественно отличаются от аксиом Рассела, хотя Гильберт ввел больше аксиом, поскольку его не интересовало построение наиболее экономной системы аксиом логики. Но так как, согласно Гильберту, математика невыводима из логики (математика не следствие логики, а автономная научная дисциплина), то аксиоматика как логики, так и математики должна включать математические и логические аксиомы. Гильберт считал также, что математику надежнее всего рассматривать не как фактическое знание, а как формальную, т.е. абстрактную, дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению (хотя неформально значение символов и их отношение к реальности также учитываются). Доказательства теорем должны сводиться к преобразованиям символов, производимым по определенным правилам логического вывода.
Чтобы избежать неоднозначности языка и бессознательного использования интуитивных представлений, приводящих к одним парадоксам, исключить другие парадоксы и достичь строгости доказательств и объективности, Гильберт счел необходимым записать все утверждения логики и математики в символической форме. Хотя символы и могли иметь некоторое интуитивно воспринимаемое значение, в предложенной Гильбертом трактовке математики они не нуждались в интерпретации. Некоторые символы могли даже означать бесконечные множества, поскольку Гильберт намеревался включить их в свою теорию, но в таком случае они оказались бы лишенными интуитивного образа. Такие «идеальные элементы», как их называл Гильберт, необходимы для построения всей математики; поэтому их введение обоснованно, хотя сам Гильберт считал, что в реальном мире существует лишь конечное число объектов: материя состоит из конечного числа элементов.
Суть рассуждений Гильберта можно понять, если воспользоваться следующей аналогией. Иррациональное число лишено интуитивного смысла. Хотя мы можем построить отрезки, длины которых выражаются иррациональными числами, эти длины сами по себе еще не создают никакого интуитивного представления об иррациональных числах.Тем не менее иррациональные числа как идеальные элементы с необходимостью входят даже в элементарную математику. Именно поэтому математики и шли на использование иррациональных чисел, хотя те до 70-х годов XIX в. не имели логического обоснования. Гильберт занял аналогичную позицию в отношении комплексных чисел, т.е. чисел, содержащих выражение √−1. Комплексные числа не имеют прямых аналогов среди вещественных чисел, тем не менее они позволяют сформулировать некоторые общие теоремы, например теорему о том, что каждое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно nкорней, и делают возможной теорию функций комплексного переменного, оказавшуюся необычайно полезной даже в физических исследованиях. Независимо от того, означают ли символы объекты, имеющие интуитивный смысл или лишенные его, все знаки и символы понятий и операций рассматриваются как чисто формальные элементы той системы, которую мы строим. По мнению Гильберта, при обосновании математики элементами математического мышления следует считать символыи высказывания,т.е. комбинации (или строки) символов. Формалисты надеялись «купить» определенность за подходящую цену, и этой ценой было манипулирование символами, лишенными всякого смысла.
К счастью, символика логики была разработана в конце XIX — начале XX вв. (гл. VIII), поэтому у Гильберта с самого начала было под рукой все необходимое. В частности, он располагал такими символами, как — ~ (не), ∙ (и), \/ (или),
По замыслу Гильберта из выбранных им аксиом логики должны были следовать все законы логики Аристотеля. Применимость этих аксиом вряд ли вызывала у кого-нибудь сомнения, например, если X, Y и Z — высказывания, то одна из аксиом Гильберта гласит: «Если X, то X \/ Y» (иными словами, «Если истинно X, то истинно также X или Y»). Другая аксиома сводится к неформальному утверждению о том, что если из X следует Y, то из «Z или X» следует «Z или Y». Особое место в логике Гильберта занимает схема заключения. На неформальном уровне она утверждает, что если формула А верна и если из формулы А следует формула В, то формула В верна. В аристотелевой логике этот закон называется modus ponens(модус поненс). Гильберт не хотел также отказываться от закона исключенного третьего и с помощью специального приема записал в символическом виде и этот закон. Тот же прием позволил формализовать и аксиому выбора, которая, несомненно, принадлежит к числу математических аксиом. Подобный прием позволял избегать явного употребления слова «все» — Гильберт надеялся, что это поможет ему обойти все парадоксы.
В любой области математики, имеющей дело с числами, существуют (в соответствии с программой Гильберта) аксиомы арифметики. Например, существует аксиома «из a = bследует a' = b'», утверждающая, что если два целых числа aи bравны, то числа, непосредственно следующие за ними (интуитивно — ближайшие большие a,соответственно b,целые числа), также равны. В аксиомы арифметики входит и аксиома математической индукции (ср. [72]). Как правило, аксиомы имеют отношение к нашему опыту, связанному с наблюдением явлений природы, или к миру уже существующих математических знаний.
Формальная система, представляющая теорию множеств, должна содержать (записанные в виде комбинаций символов) аксиомы, которые указывают, какие множества допустимо образовывать. Например, подобные аксиомы могут допускать составление множества, являющегося объединением двух множеств, и множества всех подмножеств данного множества.
