Свой метод доказательства непротиворечивости Гильберт в общих чертах изложил в метаматематике. Что же касается полноты, то в статье «О бесконечном» (1925) Гильберт, по существу, повторил идеи, высказанные им в докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже (1900). Там Гильберт утверждал, что «каждая определенная математическая проблема непременно поддается строгому решению». Ту же мысль, только развитую несколько подробнее, мы находим в статье Гильберта от 1925 г.:
В качестве примера возможного подхода к решению фундаментальных проблем я хотел бы избрать тезис о разрешимости любой математической задачи. Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus[мы не будем знать].
Выступая с докладом на Международном математическом конгрессе в Болонье (1928), Гильберт подверг критике прежние доказательства полноты как построенные на использовании принципов логики, недопустимых в математике, но выразил несокрушимую уверенность в полноте своей собственной системы: «В нашем мышлении нет ничего таинственного — мы мыслим по вполне определенным и формулируемым правилам, которые твердо гарантируют абсолютную надежность наших суждений». Каждый математик, по словам Гильберта, разделяет убеждение в разрешимости любой четко поставленной математической проблемы. В статье «Естествознание и логика» (1930) Гильберт утверждал: «На мой взгляд, истинная причина, в силу которой Конту {135}не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует».
В работе «Обоснования математики», о которой Гильберт доложил в 1927 г., а опубликовал в 1930 г., он, по существу, развил свои идеи, выдвинутые в работе 1905 г. По поводу предложенного им метаматематического метода (теории доказательства) установления непротиворечивости и полноты Гильберт утверждал следующее:
С помощью этого нового обоснования математики, который справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым приведя образование понятии и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки. Я надеюсь, что смогу с помощью своей теории доказательства полностью достигнуть этой цели, хотя до ее полного завершения необходима еще большая работа.
Гильберт был уверен, что его теория доказательств позволит разрешить проблемы непротиворечивости и полноты.
К 30-м годам были получены некоторые результаты о полноте различных аксиоматических систем. Сам Гильберт построил несколько искусственную систему, охватывающую лишь часть арифметики, и доказал ее полноту и непротиворечивость. Аналогичные ограниченные результаты вскоре удалось получить и другим авторам. Так, была доказана непротиворечивость и даже полнота таких сравнительно тривиальных аксиоматических систем, как исчисление высказываний. Некоторые из доказательств принадлежали ученикам Гильберта. В 1930 г. Курт Гёдель (1906-1978), ставший впоследствии профессором Института высших исследований в Принстоне, доказал полноту исчисления предикатов первой ступени, охватывающего высказывания и пропозициональные функции. {136}Формалисты были в восторге от полученных результатов. Гильберт еще больше уверовал в то, что его метаматематике (его теории доказательства) удастся доказать непротиворечивость и полноту всей математики.
Но уже в следующем году Гёдель опубликовал другую работу, поистине открывшую ящик Пандоры. В этой работе, называвшейся «О формально неразрешимых утверждениях [оснований математики] и родственных систем» (1931), содержались два поразительных результата. Наибольшее смятение у математиков вызвал один из них — утверждающий, что непротиворечивость любой достаточно мощной математической системы, охватывающей арифметику целых чисел, не может быть установлена средствами самой этой системы на основе математических принципов, принятых различными школами в основаниях математики: логицистами, формалистами и представителями теоретико-множественного направления. Это утверждение Гёделя прежде всего касалось формалистской школы, ибо Гильберт по собственной воле ограничил свою метаматематику такими логическими принципами, которые были приемлемы даже для интуиционистов, чем сузил арсенал доступных формалистам логических средств. Результат Гёделя послужил поводом для известного высказывания Германа Вейля: «Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем».
Приведенный результат Гёделя является следствием из установленного им другого, не менее поразительного результата, который известен как теорема Гёделя о неполноте.Она утверждает, что если формальная теория T, включающая арифметику целых чисел, непротиворечива, то она неполна. {137}Иначе говоря, существует имеющее смысл утверждение арифметики целых чисел (обозначим его S), которое в рамках данной теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Но либо утверждение S,либо утверждение «не S» истинно. Следовательно, в арифметике существует истинное утверждение, которое недоказуемо, а значит, и неразрешимо. Хотя Гёдель не указал точно, о каком классе аксиоматических систем идет речь в полученном им результате, теорема о неполноте применима к системам Рассела — Уайтхеда, Цермело — Френкеля, гильбертовской аксиоматике чисел и ко всем наиболее распространенным аксиоматическим системам. Казалось, непротиворечивость достигается ценой неполноты. И словно для того, чтобы разбередить рану и вновь унизить математиков, истинность некоторых неразрешимых утверждений удалось доказать с помощью рассуждений (правил логики), выходящих за рамки допустимого в перечисленных выше формальных системах.
Как и следовало ожидать, получение столь поразительных результатов потребовало от Гёделя немалых усилий. Основная идея его работы состояла в том, чтобы каждому символу или каждой последовательности символов в системе, принятой, например, логицистами или формалистами, сопоставить определенное число. Любому утверждению или последовательности утверждений, образующих доказательство, Гёдель также ставил в соответствие некоторое число — гёделевский номер. {138}
Рассмотрим схему Гёделя подробнее. Произведенная Гёделем арифметизация состояла в том, что каждому математическому понятию он сопоставлял некоторое натуральное число. Числу 1 Гёдель поставил в соответствие число 1, знаку равенства — число 2, введенному Гильбертом символу отрицания — число 3, знаку плюс — число 5 и т.д. Таким образом, набору символов 1 = 1 Гёдель сопоставляет числовые символы 1, 2, 1, тогда как равенству (формуле) 1 = 1 сопоставляется не три (числовых) символа 1, 2, 1, а единственное число, структура которого позволяла бы восстановить все входящие в него символы-компоненты. А именно: Гёдель выбрал три первых простых числа 2, 3 и 5 и, составив из них число 2 1∙3 2∙5 1= 90, присвоил его равенству 1 = 1. Число 90 допускает однозначное разложение в произведение степеней простых чисел 2 1∙3 2∙5 1, по которому нетрудно восстановить символы 1, 2, 1.
