И вообще если принимать, что математические предметы существуют таким образом как некие отдельные сущности, то получается нечто противоположное и истине, и обычным взглядам. В самом деле, при таком их бытии необходимо, чтобы они предшествовали чувственно воспринимаемым величинам, между тем согласно истине они нечто последующее по отношению к ним: ведь незаконченная величина по происхождению предшествует [законченной], а по сущности нет, как, например, неодушевленное — по сравнению с одушевленным.

Далее, благодаря чему и когда же математические величины будут составлять единство? Окружающие нас вещи едины благодаря душе или части души или еще чему-нибудь, могущему быть основанием [единства] (иначе они образуют множество и распадаются); но раз те величины делимы и суть количества, то какова причина того, что они составляют неразрывное и постоянное единство?

Кроме того, [то, что математические величины не могут существовать отдельно], показывает порядок, в каком они возникают. Сначала возникает нечто в длину, затем в ширину, наконец, в глубину, и так достигается законченность. Таким образом, если последующее по происхождению первее по сущности, то тело, надо полагать, первее плоскости и линии; и большую законченность и цельность оно приобретает, когда становится одушевленным. Но как может быть одушевленной линия или плоскость? Это требование было бы выше нашего понимания.

Далее, тело есть некоторая сущность (ибо в известной мере она уже содержит в себе законченность), но как могут быть сущностями линии? Ведь не могут они ими быть ни как форма, или образ, — такой может быть, например, душа, — ни как материя (например, тело). Ведь очевидно, что ни одно тело не может слагаться из линий, или плоскостей, или точек. Но если бы они были некоей материальной сущностью, то обнаружилось бы, что с ними это может случиться.

Итак, пусть они будут по определению первее [тела]. Но не все, что первее по определению, первее и по сущности. Ибо по сущности первее то, что, будучи отделено от другого, превосходит его в бытии, по определению же одно первее другого, если его определение есть часть определения этого другого. А первее и по сущности и по определению одно и то же вместе может и не быть. Ведь если свойства, скажем движущееся или бледное, не существуют помимо сущностей, то бледное первее бледного человека по определению, но не по сущности: ведь оно не может существовать отдельно, а всегда существует вместе с составным целым (под составным целым я разумею здесь бледного человека). Ясно поэтому, что ни полученное через отвлечение первее, ни полученное через присоединение есть нечто последующее [по сущности]. Ведь на основании присоединения бледности человек называется бледным.

Итак, что математические предметы суть сущности не в большей мере, чем тела, что они первее чувственно воспринимаемых вещей не по бытию, а только по определению и что они не могут каким-либо образом существовать отдельно, об этом сказано достаточно; а так как они, как было доказано, не могут существовать и в чувственно воспринимаемом, то ясно, что либо они вообще не существуют, либо существуют каким-то [особым] образом и потому не в безотносительном смысле: ведь о бытии мы говорим в различных значениях.

Так же как общие положения в математике относятся не к тому, что существует отдельно помимо [пространственных] величин и чисел, а именно к ним, однако не поскольку они имеют величину или делимы, точно так же ясно, что и относительно чувственно воспринимаемых величин могут быть и рассуждения и доказательства не поскольку они чувственно воспринимаемы, а поскольку они [пространственные] величины. В самом деле, так же как о вещах возможно много рассуждений только как о движущихся, независимо от того, что есть каждая из этих вещей и какие у них привходящие свойства, и из-за этого нет необходимости, чтобы существовало что-то движущееся, отдельное от чувственно воспринимаемых вещей, или чтобы в них имелась [для движения] какая-то особая сущность, точно так же и относительно движущихся вещей возможны рассуждения и знания не поскольку они движущиеся вещи, а лишь поскольку они тела, или опять-таки лишь поскольку они плоскости, или лишь поскольку они линии, или поскольку они делимы, или поскольку неделимы, но имеют положение [в пространстве], или поскольку они только неделимы. Поэтому если верно вообще говорить, что существует не только отделенное, но и неотделенное (например, что существует движущееся), то верно также вообще сказать, что существуют математические предметы и что они именно такие, как о них говорят [математики]. И как о других науках верно будет вообще сказать, что каждая изучает свой предмет, а не привходящее (например, не бледное, если здоровое бледно, а здоровое), т. е. исследует нечто как таковое, — здоровое, поскольку оно здоровое, человека, поскольку он человек, точно так же обстоит дело с геометрией. Если ее предмету случается быть чувственно воспринимаемым, но занимается она им не поскольку он чувственно воспринимаем, то математические науки не будут науками о чувственно воспринимаемом, однако и не науками о другом, что существовало бы отдельно помимо него. У вещей много привходящих свойств самих по себе, поскольку каждая из них именно такого рода: ведь у животного, [например], имеются отличительные признаки, поскольку оно женского пола и поскольку мужского, хотя и не существует чего-либо женского или мужского отдельно от животных. Так что (вещи можно рассматривать] также только как имеющие длину и плоскость. И чем первее по определению и более просто то, о чем знание, тем в большей мере этому знанию присуща строгость (а строгость эта — в простоте); поэтому, когда отвлекаются от величины, знание более строго, чем когда от нее не отвлекаются, а наиболее строго — когда отвлекаются от движения. Если же предмет знания — движение, то наиболее строго оно, если изучают первое движение, ведь это движение — самое простое, а из его видов самое простое — движение равномерное.

И то же самое можно сказать и про учение о гармонии, и про оптику: и та и другая рассматривает [свой предмет] не поскольку он зрение или звук, а поскольку это линии и числа, которые, однако, суть их собственные свойства. И точно так же механика. Поэтому если, полагая что-то обособленно от привходящих свойств, рассматривают его, поскольку оно таково, то не получится никакой ошибки, как и в том случае, когда чертят на земле и объявляют длиною в одну стопу линию, которая этой длины не имеет: ведь в предпосылках здесь нет ошибки.

И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр. В самом деле, человек, поскольку он человек, един и неделим, и исследователь чисел полагает его как единого неделимого и затем исследует, что свойственно человеку, поскольку он неделим. Геометр же рассматривает его не поскольку он человек и не поскольку он неделим, а поскольку он имеет объем. Ведь ясно, что то, что было бы присуще человеку, даже если бы он случайно не был неделим, может быть присуще ему и без этого Вот почему геометры говорят правильно и рассуждают о том, что на деле существует, и их предмет — существующее, ибо сущее имеет двоякий смысл — как осуществленность и как материя.

Так как благое и прекрасное не одно и то же (первое всегда в деянии, прекрасное же — и в неподвижном), то заблуждаются то, кто утверждает, что математика ничего не говорит о прекрасном или благом. На самом же деле она говорит прежде всего о нем и выявляет его. Ведь если она не называет его по имени, а выявляет его свойства (ergd) и соотношения, то это не значит, что она не говорит о нем. А важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их. И так как именно они (я имею в виду, например, слаженность и определенность) оказываются причиной многого, то ясно, что математика может некоторым образом говорить и о такого рода причине — о причине в смысле прекрасного. Яснее мы скажем об этом в другом месте.