В египетских пирамидах мы видим квадрат, а не круг. В Стоунхендже мы видим круг, а не квадрат. Быть может, форму квадрата должны были иметь монументы, имевшие отношение к загробному миру, подобно пирамидам? Быть может, круг имеет большее отношение к астрономии и ритуалам-, связанным с Солнцем и Луной?
Культуры, о которых мы рассказали в этой главе, давно прекратили свое существование. Математические идеи в них зародились намного раньше, чем возникла так называемая западная культура. Развитие этих идей носило локальный характер: все народы занимались математикой по-своему и независимо друг от друга решали практические задачи. Эта математика была этноматематикой.
Мы имеем некоторое представление о том, что такое математика, как она создается, и наше представление опирается на идею непрерывности пространства и времени. Но, по всей видимости, эта идея возникла лишь с появлением нашей культуры. А что происходит и происходило за ее пределами? В доколумбовой Америке существовали народы, создавшие важные математические знания. Этот процесс не прекращается в самых разных культурах с момента открытия нового континента и до наших дней — именно благодаря ему эти культуры смогли выжить и дойти до нас. Обо всем этом мы и поговорим дальше.
* * *
СЕЛЬСКАЯ МАТЕМАТИКА
В конце 1980-х годов профессор Гвида де Абреу изучила математические методы, которые применяли крестьяне на северо-востоке Бразилии. Расхождения между этими методами и сугубо академическими представлениями препятствовали внедрению новых аграрных технологий.
К примеру, площади треугольников крестьяне вычисляли как произведение среднего арифметического длин двух сторон треугольника на половину третьей, то есть по формуле (х + у)·z/ 4.
Этот метод имеет свои недостатки. Для равностороннего треугольника со стороной х площадь будет равна S = х2/2, что отличается от фактического значения, равного (х2√3)/4. Для прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 и 40 метров и гипотенузой длиной 50 метров в зависимости от выбора сторон возможны три разных результата. Истинное значение площади составляет 600 м2, а значения, полученные по методу бразильских крестьян, равны: S1 = 800 м2, S2 = 875 м2, S3 = 675 м2.
В последнем случае мы вычислили среднюю длину двух больших сторон треугольника и получили наиболее точный результат. Возможно, так и следует действовать во всех случаях, тем более что этот метод, несомненно, намного удобнее применять на практике, чем тригонометрические расчеты. Кроме того, основой системы мер, которую использовали крестьяне, были единицы под названием брага, куб и конта. Брага, стандартная мера длины, составляла от 2 до 2,20 м и измерялась при помощи посоха. Куб определялся как площадь квадрата с длиной стороны в одну брагу, конта — как площадь квадрата с длиной стороны в 10 браг.
Глава 2
Как считать быстрее и лучше
Что бы вы подумали, если бы увидели на тротуаре бумажку с такими надписями?
Это свободная интерпретация шумерской таблички возрастом более 4600 лет, найденной в городище Шуруппак на территории Ирака. Как отмечает Джордж Ифра (Марракеш, 1947), эта табличка представляет собой древнейшую запись деления чисел. Математик и историк Джордж Ифра — автор объемных и очень подробных трудов о системах счисления во всем мире, созданных задолго до появления математической науки.
В табличке идет речь о разделе ячменя между несколькими людьми. В левом столбце указано исходное количество ячменя, которое нужно разделить: один амбар и семь сил (один амбар равнялся 1152 000 сил). В правом столбце приведены необходимые расчеты. Смысл текста на табличке таков: после того как амбар ячменя был разделен между несколькими людьми, каждому досталось по 7 сил. Всего было 164571 человек, 3 силы оказались лишними.
Числа на табличке записаны при помощи геометрических фигур. Маленький конус обозначал единицу, круг — 10 единиц, большой конус — 60 единиц, большой конус с отверстием — 600, большой круг — 3600, большой круг с отверстием — 36 000 единиц.
Делимое 1152000 раскладывается на степени 60 следующим образом:
1152 000 = 5·603 + 2·10·602.
Но вместо того, чтобы записать его в таком виде, автор таблички, который не умел представлять большие числа, применил самое большое число, известное в ту эпоху, то есть 36000. Если мы хотим записать число 1152000 при помощи кругов с отверстиями, нам потребуются 32 круга:
1152 000 = 32·36 000.
Разделив эти 32 круга на 7 частей, получим, что в каждой части будет по 4 круга и еще 4 круга окажутся лишними. Четыре круга, доставшихся каждому человеку, составляют частное и записаны в верхней правой части таблички. Четыре оставшихся круга представляют собой остаток от первого деления. Их нужно снова разделить на 7 частей. Так как остаток равен 4·36 000 сил, получим:
4·36 000 = 144 000 = 40·3600,
то есть 40 больших кругов без отверстий. Разделим их на группы по 7 и получим, что частное — 5 кругов, остаток — тоже 5 кругов. Оставшиеся круги, обозначающие 5·3600 единиц, делятся на большие конусы с отверстиями по 600 единиц:
5·3600 = 18 000 = 30·600.
Имеем 30 больших конусов с отверстиями, которые нужно разделить на семь частей. Частное равно 4, остаток — 2. Таким образом, остались 2 больших конуса с отверстиями, то есть 2·600 = 1200 единиц, которые снова нужно разделить на 7 частей. Для этого используем следующую единицу измерения — конус без отверстий, обозначающий 60 единиц:
1200 = 20·60.
Эти 20 конусов, в свою очередь, снова делятся на 7. Результат деления равен 2, остаток — 6. Таким образом, лишними оказались 6 * 60 = 360 единиц. Они обозначаются 36 шарами по 10 единиц каждый:
360 = 36·10.
* * *
ВЫЧИСЛЕНИЯ ШУМЕРОВ
На латыни слово calculus означало маленькие камни или кусочки глины, которые в зависимости от формы и размера обозначали разные величины. От этого слова произошло современное «калькулятор»». Шумеры использовали для обозначения величин не камни, а маленькие конусы и шарики, в которых проделывали отверстия. Современные врачи называют «calculus renalis» камни в почках — небольшие плотные образования, возникающие в результате кальцификации.
* * *
Результат деления 36 на 7 равен 5, остаток — 10 единиц, или, что аналогично, 10 маленьких конусов. Разделим их на 7 частей и получим последний остаток в 3 единицы, или 3 маленьких конуса. Все описанные выше действия приведены в таблице.
Фигурам, изображенным в верхней правой ячейке глиняной таблички, соответствуют числа в третьем столбце таблицы. Под этими фигурами на табличке изображены три маленьких конуса, обозначающие остаток от деления (им соответствует четвертый столбец таблицы). Разумеется, деление было проведено по всем правилам.
Древние египтяне, жившие в 2000 году до н. э., с легкостью выполняли умножение и деление на 10 — для этого им было достаточно заменить символы, обозначавшие цифры исходного числа, меньшими или большими символами соответственно.
На следующем рисунке в качестве примера показано, как записывались числа 48 и 480 (напомним, что египтяне писали справа налево).
