Например, 2 + 3 = 5, но на циферблате с четырьмя числами 5 эквивалентно 1, то есть 5 

1 (mod 4). Аналогично составим таблицу умножения:

Эта таблица содержит любопытный факт: при перемножении двух неравных нулю чисел получается ноль (2 x 2 = 0). То же самое будет с числами 2 и 3 в таблице умножения по модулю 6, так как 2 x 3 = 6, что эквивалентно нулю, потому что 6 

0 (mod 6). Такого не произойдет, если модуль является простым числом, потому что простое число нельзя разложить на произведение множителей.

Здесь простые числа и играют свою роль. Конгруэнтность в некоторой степени изучается в средней школе, но лишь когда мы обращаемся к сложной модульной арифметике, все становится действительно интересным, а простые числа — незаменимыми.

«Часы Гаусса» оказались чрезвычайно мощным инструментом. Гаусс мог определить, например, не выполняя сложных расчетов, что деление 8514 на 7 дает в остатке 1, так как 8 

1 (mod 7), то есть 8 при делении на 7 дает в остатке 1, а таблица умножения показывает, что умножение 8 на 8 эквивалентно умножению 8 на 1: 8 х 8 = 64, которое при делении на 7 дает в остатке 1.

Следовательно, умножить число 8 на само себя 514 раз — все равно что умножить его на единицу столько же раз. Другими словами,

8⁵¹⁴ 

1 (mod 7).

Гаусс заметил, что если циферблат его часов содержит простое количество чисел, р, то они будут повторяться каждые р раз, то есть они образуют повторяющиеся группы из р чисел. Тогда Гаусс переформулировал малую теорему Ферма в терминах модульной арифметики:

«Если р — простое число, то для любого натурального числа а а^р 

а (mod р)».

Или, что то же самое, (а^р — а) кратно р. Например, З⁵ —3 = 240, и 240 кратно 5. В терминах «часов Гаусса» теорему можно интерпретировать следующим образом. Предположим, мы хотим знать, является ли р простым числом. Построим часы с циферблатом, содержащим р делений. Возьмем любое число на циферблате, возведем его в степень р и проверим, будет ли стрелка указывать на то же число. Если нет, то мы можем быть уверены, что р не является простым числом. Например, пусть р равно 6. Построим часы с циферблатом, содержащим 6 делений. Возьмем одно из чисел, например, 4. Запишем 4⁶  = 4096, что при делении на 6 дает в остатке 4.

Иначе говоря, стрелки часов делают круг за кругом, пока не остановятся на цифре 4. Мы знаем, что по малой теореме Ферма число 6 не является простым. Возьмем теперь простое число, например, 7, и посмотрим, что произойдет, когда мы возведем некоторое число в седьмую степень. Укажут ли стрелки часов на это число? Однако мы должны иметь в виду, что теорема дает необходимое, но не достаточное условие.

Это означает, что если при проверке числа а стрелки укажут на это число а, существует вероятность, что число р окажется простым. Но одной такой проверки недостаточно. Чем больше проверок мы сделаем, тем больше шанс, что число р является простым, но мы не можем утверждать это наверняка. Как мы увидим в седьмой главе, это один из способов, широко используемый современными компьютерами для определения простоты больших чисел.

Услышав выражение «мнимые числа», человек, далекий от математики, может подумать, что это еще одна причуда математиков, и будет недалек от истины. Такое мнение разделяли и многие специалисты в области математики, когда им встречались числа настолько экзотические, что к ним относились почти как к призракам.

Но эти призраки настойчиво появлялись при решении уравнений, и вскоре их стало невозможно игнорировать. Их начали использовать при расчетах, и в конце концов они были приняты в качестве решений уравнений и приобрели собственный статус, став одним из фундаментальных понятий в математике и важнейшей темой многих учебников. Было бы неправильно полагать, что они появляются лишь в мире чистой математики. На самом деле мнимые числа являются основным инструментом современной физики и самым различным образом применяются на практике.

Если логарифмы сыграли важную роль в открытиях Гаусса, то мнимые числа были необходимы для результатов, позже полученных Риманом, поэтому небольшое путешествие в «мнимую» страну поможет нам лучше понять развитие теории простых чисел.

Готфрид Лейбниц однажды сказал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Рассмотрим теперь, что подразумевается под «мнимым корнем из отрицательной единицы».

Мнимые числа имеют практическое применение в электронике. Действительные числа используются для измерения сопротивления — свойства объекта препятствовать прохождению через него электрического тока. А мнимые числа используются для измерения индуктивности (отношения магнитного потока к силе тока в катушке) и емкости (отношения величины электрического заряда к разности потенциалов между пластинами конденсатора).

Квадратный корень из числа а, записываемый как √а, — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен а. Другими словами, √а = b означает, что b²  = а. Например,

√4 = 2, потому что 2²  = 4;

√9 = 3, потому что З²  = 9.

С другой стороны, существует «правило знаков» при умножении и делении: плюс на плюс дает плюс, плюс на минус дает минус, и минус на минус дает плюс.

При записи в символах это выглядит так:

+ x + = +

+ х — = — х + = -

— x — = +

Возьмем в качестве примеров некоторые числа:

5 х 2 = 10;

— 5 x 2 = -10;

— 5 x -5 = 25.

Таким образом, квадрат числа, результат умножения на себя, никогда не может дать отрицательное число. Если исходное число положительное, то «плюс на плюс» даст положительный результат, а если исходное число отрицательное, то «минус на минус» также даст положительный результат. Именно поэтому в принципе невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Например, √-4 не может равняться 2, так как 2 х 2 = 4, и не может равняться —2, так как -2 x -2 = 4.

Таким образом, мы можем утверждать, что √1 = 1, но √—1 не существует. Этот корень не существует как действительное число, но ничто не мешает нам определить его как «мнимое» число, которое мы будем обозначать буквой i:

√-1 = i

Давайте посмотрим, что происходит с числом i при возведении его в различные степени:

√-1 = i

i² = (√-1)² = -1

i³  = i² х i = -1 х i = — i;

i⁴ = i³  x i = —i x i = i² = — (-1) = 1.

Продолжая таким образом, получим:

i⁵ = i;

i⁶ = -1;

i⁷ = — i;

i⁸ = 1

…

Необходимость найти значение квадратного корня из отрицательного числа возникает тогда, когда мы решаем определенные квадратные уравнения. Известно, что уравнения вида ах² + Ьх + с = 0 имеют два решения, выражаемые формулой: