Но эта формула не работает, когда число под корнем отрицательное.

В трактате Джироламо Кардано Ars magna («Великое искусство»), опубликованном в 1545 г., была сформулирована следующая задача: «Разделить 10 на две части, произведение которых равно 40». Если мы обозначим эти две части буквами х и у, мы можем записать:

х + у = 10;

x · у = 40.

Выражая у = 10 — х и подставляя во второе уравнение, получаем: х(10 — х) = 10x — х² = 40. Перенося все в правую часть, мы получим квадратное уравнение х² — 10x + 40 = 0, решения которого находятся по формуле:

Кардано рассмотрел два числа, являющиеся решениями уравнения:

5 + √-15 и 5 — √-15.

Сознавая, что они являются сложными (комплексными) числами, он проверил, что их сумма равна 10, а их произведение равно 40, и, таким образом, несмотря на «сопротивление ума», они являются решениями данной задачи.

Эти «сложные» корни уравнений часто появлялись при решении многих задач. (Корнями уравнения называются его возможные решения.) Они существовали и смущали математиков, которые не могли принять их в качестве чисел. Декарт сказал о них: «Как истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишь мнимыми», тем самым определив один из терминов, который используется до сих пор для обозначения таких корней: «мнимые».

Мнимое число, например √-4, также может быть записано в виде √4∙√-1 = 2∙√-1, так как мы обозначили буквой i квадратный корень из —1, мы можем это записать как √-4 = 2i.

Таким образом, любое комплексное число можно записать в виде а + bi называемом алгебраической формой комплексного числа, в которой число а называется действительной частью, а число bi — мнимой. Например, число 2 + √—9 может быть записано как 2 + 3i, где 2 — действительная часть, a 3i — мнимая. Если комплексное число не имеет вещественной части, например, 2i, то оно называется чисто мнимым числом.

Складывать и вычитать комплексные числа очень просто. Суммой двух комплексных чисел называется другое комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть — сумме мнимых частей. Например:

(3 + 2i) + (8 — 3i) = (3 + 8) + (2–3)i = 11 — i.

Вычитание выполняется аналогично. При умножении одно число помещается под другим, и выполняется умножение, как будто части комплексных чисел являются цифрами обычных двузначных чисел.

В смысле алгебраических операций комплексными числами можно манипулировать свободно, но как их представить наглядно? Например, действительные числа можно расположить на прямой линии, с точкой ноль посередине, и тогда положительные числа будут соответствовать точкам справа, а отрицательные — точкам слева. Но комплексные числа содержат две части, что так или иначе подразумевает дополнительное измерение в геометрическом пространстве.

Визуальное изображение комплексных чисел имеет давнюю историю. Некоторые математики, в частности Эйлер, Абрахам Муавр и Александр Теофил Вандермонд, уже думали о возможности представления комплексного числа х + ух как точки на плоскости с координатами (х, у). Однако именно Жан Робер Арган (1768–1822), бухгалтер и математик-любитель, опубликовал небольшое исследование о том, как можно изобразить комплексные числа геометрически. Дальнейшие работы Гаусса, который определил геометрический характер комплексных чисел, и придали им ту окончательную форму, которую мы используем сегодня. На самом деле Гаусс не только ввел символ х для √-1, но и считал, что 1,-1, √-1 следует рассматривать не только как положительное, отрицательное и мнимое числа, а как различные формы числа 1: вперед, назад и вбок. Действительно, мнимые числа были бы приняты скорее, если бы удалось развеять атмосферу таинственности вокруг них. По той же причине Гаусс использовал термин «комплексное число» вместо «мнимое число».

Изобразить комплексное число на плоскости очень просто. Проведем две перпендикулярные оси координат. Назовем горизонтальную ось ОХ действительной осью, на ней мы будем отмечать действительные части комплексных чисел (положительные — справа от начала координат, отрицательные — слева). Назовем вертикальную ось OY мнимой осью, на которой будем отмечать мнимые части комплексных чисел (положительные — сверху от начала координат, отрицательные — снизу). Таким образом, чтобы изобразить комплексное число 2 + i, мы поступим следующим образом:

* * *

* * *

Отложим два единичных отрезка вправо по оси ОХ и один — вверх по оси OY.

Мы можем посчитать расстояние ОА по теореме Пифагора, (ОА)² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5, следовательно, ОА = √5. Это число называется модулем комплексного числа.

Геометрическое представление комплексных чисел было большим шагом вперед.

Теперь их можно было использовать в математическом анализе функций комплексного переменного.

Глаз специалиста может увидеть дополнительную информацию в графическом представлении функции. На самом деле эти графики можно рассматривать как произведения искусства. Лорд Кельвин однажды сказал: «Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все, что может услышать ухо.

Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».

Мы уже видели в третьей главе, что можно определить функции, которые каждому действительному числу ставят в соответствие другое действительное число. Аналогично мы можем определить функции, которые действительное число ставят в соответствие паре действительных чисел.

Например:

(х, у) — > х² + у².

Соответствующая таблица будет выглядеть так:

Чтобы изобразить график такой функции, мы должны взять трехмерное пространство, в котором, например, точка (1, 2, 5) находится от точки плоскости (1, 2) на расстоянии пяти единичных отрезков вдоль третьей оси (OZ), перпендикулярной к плоскости OXY

И функция f(х, у) = х² + у² будет представлена следующим образом: