Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства только на том основании, что то, чтб получалось, всегда было заранее известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это заранее известное, создавало по крайней мере видимость остова доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в особенности принадлежащие к только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь опытным путем.
Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта, находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны, заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и чистоты. - А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические эксперименты и связанные с ними умозаключения. Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой предана забвению или заменена другими доказательствами.
Примечание 2 Цель дифференциального исчисления, вытекающая из его применения
В предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной стороны, определенность понятия бесконечно малого, которым пользуются в дифференциальном исчислении, с другой - основание ее введения в это исчисление. И то и другое - абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания.
Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса - с нахождением дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на основании дифференциалов, интегрирование - можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя] понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи, нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestinunung) было бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. [производной] функции их определение равным образом уже закончено с определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.
Можно здесь предпослать замечание, что по методу дифференциального исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу - ибо дело именно и усматривается в отличии разложенной функции переменной величины (после того как ей придана форма двучлена) от первоначальной функции, - скорее совершенно противоречит всем математическим принципам. И потребность в таком образе действий, и отсутствие внутреннего его оправдания сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его. Это не единственный случаи в науке, когда то, что ставится вначале как элементарное и из чего, как предполагают, должны быть выведены положения данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину и обоснование скорее в последующем. История возникновения дифференциального исчисления показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках - в различных так называемых методах касательных; после того как образ действия был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и выражен в абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.
Выше мы показали, что определенность понятия так называемых бесконечно малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу, а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое исследование, ставившее себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся описаниях или дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую разность и тому подобное. - Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть абстрактной определенности понятия, как таковой. Дальше возникает вопрос: каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для этой цели прежде всего нужно развить дальше теоретическую сторону, определенность понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной; затем следует рассмотреть отношение ее к применению и доказать относительно их обоих, насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то же время соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления, и тому способу, каким оно достигает своей цели.
Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту форму, которую имеет в области математики рассматриваемая нами теперь определенность понятия. Мы показали качественную определенность количественного сначала в количественном отношении вообще; но уже при разъяснении различных так называемых видов счета (см. относящееся к этому примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении, которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение моментов его понятия, единицы и численности, положено как возратившееся к самому себе, и тем самым оно приобретает в себе момент бесконечности, для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают, что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных определений, как таковых.
