Древние фараоны назначали землемеров для оценки ущерба и восстановления разметки полей – так и родилась геометрия. Землемеры, или натягиватели веревок (называвшиеся так по своим измерительным приспособлениям: веревкам с узлами, благодаря которым можно было определить прямой угол), со временем научились определять площадь участков земли, разделяя их на прямоугольники и треугольники. Египтяне также научились измерять объемы объектов – таких, как пирамиды. Египетские математики были знамениты по всему Средиземноморью; вероятно, древнегреческие геометры – Фалес и Пифагор – учились в Египте. Однако несмотря на блестящие достижения, ноль в Египте так и не появился.

Причина была отчасти в том, что египтяне интересовались только практической стороной дела. Они так и не пошли дальше измерения объемов и подсчета дней и часов. Математика не использовалась для чего-либо отвлеченного, если не считать астрологии. В результате даже лучшие египетские математики не могли использовать принципы геометрии там, где это не было связано с реальным миром: они не превратили свою математическую систему в абстрактную систему логики. Они также не соотносили математику с философией. Греки отличались от египтян тем, что пользовались абстракциями и философскими категориями; они довели математику до ее верхней точки в древности. Однако не греки открыли ноль. Ноль пришел с Востока, а не с Запада.

Рождение ноля

Греки понимали математику лучше египтян. Овладев египетским искусством геометрии, они быстро превзошли своих учителей.

Сначала греческая система чисел была очень сходна с египетской. Греки тоже использовали как основу число 10, и в том, как две культуры записывали числа, разница была невелика: вместо рисунков, как египтяне, греки для обозначения чисел использовали буквы. Буква «?» («эта») обозначала hekaton – «сто»; «М» («мю») – myriory – «десять тысяч» («мириада» – самый большой разряд в греческой системе). У греков был также символ для числа 5, что указывало на смешение пятеричной и десятеричной систем, в целом же греческая и египетская системы записи чисел были почти одинаковы – на некоторое время. Потом греки переросли этот примитивный способ записи чисел и создали более изощренную систему.

Рис. 1. Изображение чисел в различных культурах:

Вместо того чтобы использовать две черточки для обозначения цифры 2 или три «H» для обозначения 300, как это делалось бы в «египетском» стиле, новая греческая система, появившаяся около 500 года до н. э., использовала отдельные значки для изображения 2, 3, 300 и многих других чисел (рис. 1). Таким образом, греки избавлялись от повторения цифр. Например, запись числа 87 в египетской системе требовала бы пятнадцать символов: восемь пяток и семь вертикальных черточек. В новой греческой системе требовалось всего два символа: ? для 80 и ? для 7. (Римская система, сменившая греческую, была шагом назад; запись римскими цифрами – LXXXVII – потребовала бы семи символов с несколькими повторениями.)

Хотя греческая система была изощренней египетской, она не обеспечивала самого прогрессивного способа записи чисел в древнем мире. Эта честь принадлежит другому восточному изобретению: вавилонскому способу счета. Благодаря этой системе на Востоке, в Плодородном полумесяце, появился ноль.

На первый взгляд, вавилонская система представляется извращенной. Во-первых, она шестидесятерична – имеет в основе число 60. Такой выбор кажется странным, особенно если учесть, что большинство человеческих обществ выбирали в этом качестве числа 5, 10 или 20. Во-вторых, вавилоняне использовали только два значка для изображения чисел: клинышек, обозначавший единицу, и двойной клинышек, обозначавший десять. Группы этих значков, объединенных в семейства, содержащие 59 или меньше значков, были базовыми символами системы чисел, так же, как греческая система использовала буквы, а египетская – рисунки. Однако действительно странной особенностью вавилонской системы было то, что вместо использования разных символов для каждого числа, как в египетской и греческой системах, каждый символ мог изображать множество разных чисел. Единственный клинышек, например, мог изображать 1, 60, 3600 и сколько угодно других чисел.

Каким бы странным это ни казалось на современный взгляд, для древних людей это было вполне осмысленно: таков был эквивалент компьютерного кода бронзового века. Вавилоняне, как и представители многих других культур, изобрели приспособления, помогавшие им в счете. Наиболее знаменит из них абак. Известный как «соробан» в Японии, «цзе-суан-пан» в Китае, «счеты» в России, «кулба» в Турции, «хореб» в Армении и под множеством других названий в разных культурах, абак использует перемещающиеся камешки для обозначения количества. (Слова «калькулировать», «калькулюс» и «кальций» происходят от латинского слова calculus – камешек.)

Сложение чисел на абаке столь же просто, как перемещение камешков вверх и вниз. Камешки в разных колонках имеют разную цену и, манипулируя ими, умелый пользователь может быстро складывать большие числа. Когда подсчет закончен, все, что нужно сделать пользователю, – это посмотреть на окончательное расположение камешков и перевести увиденное в число – довольно простая операция.

Вавилонская система походила на абак, символически изображенный на глиняной табличке. Каждая группа символов соответствовала определенному числу камешков, двигавшихся на абаке, и как каждая колонка абака, каждая группа имела собственное, отличное от других значение, в зависимости от положения. В этом смысле вавилонская система не отличалась от той, которой мы пользуемся сегодня. Каждая единица в числе 111 имеет особое значение: справа налево – это 1, 10 и 100 соответственно. Подобным же образом символ

в трех разных положениях в числе означал «один», «шестьдесят» или «три тысячи шестьсот». Все было, как на абаке, за исключением единственной проблемы. Как вавилонянин записал бы число 60? Цифру 1 написать было легко: ; к несчастью, 60 тоже записывалось как – с тем единственным отличием, что значок должен стоять на втором месте, а не на первом. На абаке легко определить, какое число представлено. Один камешек в первой колонке легко отличить от одного камешка во второй колонке. Этого нельзя сказать о записи чисел. Вавилоняне не имели способа определить, в какой колонке стоит написанный символ; мог представлять и 1, и 60, и 3600. С числами, в которые входило несколько значков, дело обстояло еще хуже: это могло быть 61, 3601, 3660 и больше.

Решением этой проблемы был ноль. Около 300 года до н. э. вавилоняне начали использовать два наклонных клинышка

для обозначения пустого места: пустой колонки абака. Символ-заполнитель позволял с легкостью определить, к какому разряду принадлежит значащий символ. До появления ноля значок мог означать 61 или 3601; благодаря использованию ноля он означал 61; 3601 обозначался как (рис. 2). Ноль родился из потребности дать каждой последовательности вавилонских цифр единственное постоянное значение.