Понятие геометрического времени дало ВОЗМОЖНОСТЬ определить, что такое означает объём (конечный или бесконечный) трёхмерного пространства космологической модели. Выяснилось, что это понятие имеет смысл не во всех системах отсчёта, допустимых в общей теории относительности (ОТО). Сама система отсчёта (как физический объект, в отличие от системы координат) в ОТО определяется именно как совокупность (конгруэнция) линий времени, или мировых линий, вдоль которых изменяется только временноподобная координата х°. Чёткое определение пространства данной системы отсчёта было дано А.Л. Зельмановым. Пространство в ОТО определяется не абсолютно, а лишь как «пространство в данный момент времени», или пространственное сечение (t = const) в 4-мерном мире Эйнштейна, а оно в разных системах отсчёта по-разному ориентировано относительно линий времени. Пространство имеет смысл (т. е. однозначно определено) лишь в том случае, если оно голономно, а это значит: в любой мировой точке пространственные сечения ортогональны линиям времени. (Тогда для всего 4-мерного мира существует однозначно определённое время, так и называемое — мировым временем). А.Л. Зельманов получил инвариантное (в пределах данной системы отсчёта, т. е. «хронометрически инвариантное») условие голономности пространства данной системы отсчёта.

В общем случае анизотропной неоднородной Вселенной понятие пространства не имеет однозначного смысла. Так, если система отсчёта сопутствует вращающейся материи, то её пространство не может быть голономным. (В такой системе отсчёта теряет смысл также понятие единого геометрического времени, потому что отсутствует единый способ синхронизации событий). В случае же фридмановских моделей всегда существует (сопутствующая веществу) система отсчёта с голономным пространством, и можно ставить вопрос о величине его объёма, решаемый вычислением тройного интеграла по пространственным координатам^[416].

Известно, что космология Фридмана не даёт однозначного ответа на вопрос о конечности или бесконечности пространства: она допускает как замкнутые модели (при k = +1, где k — параметр пространственной кривизны), так и открытые (при k = 0 и k = -1). Причём конечность и бесконечность пространства рассматриваются как взаимоисключающие возможности. Таким образом, космология никак не разрешала вопрос, конечна или бесконечна Вселенная в пространстве. Но, как замечает А.Л. Зельманов, это происходило только потому, что сам вопрос о конечности и бесконечности пространства решался по отношению к одной, физически преимущественной системе отсчёта — сопутствующей веществу. Тем самым обходился вопрос о возможной зависимости конечности или бесконечности пространства от движения системы отсчёта. Между тем, в теории относительности инвариантны, то есть независимы от выбора движения системы отсчёта, лишь свойства 4-мерного мира, но не его расщепление на пространство и время. «В таком случае, — спрашивает А.Л. Зельманов, — не может ли зависимость свойств рассматриваемых порознь пространства и времени от движения системы отсчёта простираться так далеко, чтобы затрагивать конечность или бесконечность пространства?^[417]».

Чтобы получить ответ, надо было рассмотреть вопрос в чистом виде, т. е. отрешиться от привилегированных систем отсчёта — избавиться от сопутствия их материи, а проще всего — совсем изгнать из фридмановских моделей материю. ОТО допускает такие модели (называемые пустыми), ибо в ней искривленное пространство-время может существовать автономно, без порождающей кривизну материи. Для таких моделей А.Л. Зельманов и получил свой замечательный результат^[418]: бесконечное пространство одной системы отсчёта может оказаться конечным с точки зрения другой системы отсчёта, движущейся относительно неё. Наиболее выразительным этот результат оказался для 4-мерных миров де Ситтера — пустых миров при Λ > О (Λ — космологическая постоянная; это космическое поле сейчас считается ответственным за наблюдаемое ускорение расширения Вселенной). А.Л. Зельманов рассмотрел три типа таких миров, 4-мерная метрика которых задана в системах отсчёта Ланцоша («мир Ланцоша»), Леметра и Робертсона (миры Леметра и Робертсона). Каждый из миров Леметра и Робертсона в своей системе обладает бесконечным пространством. Но из координатной связи этих миров с миром Ланцоша следует, что эти миры составляют лишь часть мира Ланцоша, в системе которого они, однако, имеют конечные пространства.

Для случая непустых фридмановских моделей результат А.Л. Зельманова принципиально остаётся тем же, поскольку для них сохраняется понятие пространства. Ставить же вопрос о конечности и бесконечности пространства анизотропной неоднородной Вселенной, вообще говоря, невозможно, потому что теряет смысл сам объект, пространство. Вывод таков: в тех случаях, когда пространственный объём Вселенной существует как понятие, то его конечность или бесконечность относительна, т. е. зависит от наблюдателя.

Зависимость рассматриваемых по отдельности пространства и времени от движения системы отсчёта естественным образом порождает и другой вопрос: не простирается ли она столь далеко, чтобы затрагивать конечность и бесконечность времени? И в этом случае вопрос также имеет смысл лишь там, где само понятие времени имеет смысл. Так как Вселенная как целое не могла возникнуть во времени (геометрическом), вопрос можно ставить лишь для отдельных её объектов (подсистем). Для отдельного объекта всегда можно ввести преимущественную сопутствующую ему систему отсчёта, геометрическое время которой называется собственным временем объекта. И тут оказалось, что существуют (в геометрическом времени) объекты, для которых время протекания одного и того же процесса в одной системе отсчёта конечно, а в другой — бесконечно. Объект такого рода был теоретически предсказан в работе Оппенгеймера и Снайдера ещё в 1939 году^[419]. Это сфера из идеальной жидкости, неограниченно сжимающаяся (коллапсирующая) под действием собственных гравитационных сил. Неограниченное сжатие приводит к тому, что эта сфера за конечный промежуток собственного времени достигает размеров собственного гравитационного радиуса (r_g) и, переходя далее внутрь сферы этого радиуса («сингулярной сферы Шварцшильда»), сжимается до точечного состояния. Вместе с тем, в статической системе отсчёта внешнего наблюдателя одно лишь время приближения этой сферы к гравитационному радиусу бесконечно. Таким образом, в бесконечное время статической системы отсчёта укладывается лишь часть процесса сжатия сферы. Моменту достижения радиуса r = r_g отвечает время t = ∞ внешнего наблюдателя. Никаких логических противоречий в этом нет: это — относительность хода геометрического времени в своём крайнем выражении.

Таким образом, с точки зрения удалённого наблюдателя, гравитационный коллапс приводит к возникновению как бы навек «застывшего» тела, от которого не приходят в окружающее пространство никакие сигналы. Оно «застыло» не потому, что находится в равновесии (ибо равновесия нет), но потому, что, с точки зрения внешнего наблюдателя, на сингулярной сфере «застыло» (остановилось) время. Действительно, в системе отсчёта внешнего наблюдателя собственное время наблюдателя, пересекающего сингулярную сферу Шварцшильда, выражается величиной

τ = ∫√g₀₀dt = ∫√(1 — r/r_g)dt

откуда видно, что на сингулярной сфере (r = r_g) собственное время обращается в нуль.

Предсказание описанного Оппенгеймером и Снайдером объекта, как видим, опять было чисто умозрительным, т. е. никак не было продиктовано предметным познанием. Ни в каком предшествующем знании не могло быть объекта такого рода, потому что он должен был быть невидимым: световой сигнал не может выйти вовне из-под сингулярной сферы. Но опять-таки модель строилась на чисто гравитационном взаимодействии, а в нём в равной степени участвуют как видимые, так и невидимые тела. В 30-х годах прошлого века едва появились только первые наблюдательные догадки о возможном существовании скрытых масс, оказывающих гравитационное действие на движение наблюдаемых небесных тел. И лишь впоследствии, когда выяснилось, что звёзды достаточно больших масс действительно могут сжиматься неограниченно, рассматриваемым гипотетическим объектам был присвоен статус реальности — как одного вида тёмной материи, получившего название чёрная дыра, или коллапсар^[420].