Легко видеть, что классы K₁ и K₂ можно понимать соответственно как класс истинных и класс ложных высказываний. Мы, однако, намеренно воздерживались от этой терминологии в ходе самого доказательства (хотя не раз, комментируя отдельные ее шаги, подразумевали возможность ее использования), чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что наше доказательство в принципе не нуждается в ссылках на какую бы то ни было интерпретацию формул исчисления высказываний, хотя понять его как следует легче именно при таком «переводе» на содержательный язык.

В заключение следует сказать еще об одной важной проблеме, относящейся к исчислению высказываний. Мы установили, что каждая теорема этого исчисления является тавтологией, т. е. — если выражаться в терминах неоднократно упоминаемой выше содержательной интерпретации — логической истиной, «законом логики». Естественно задать в известной мере и обратный вопрос: каждое ли логически истинное высказывание, выразимое на языке нашего исчисления (т. е. каждая ли тавтология), является теоремой данного исчисления (выводимой из его аксиом)? И на этот вопрос можно дать положительный ответ; но доказательство такого факта слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Но нам хотелось бы обратить внимание на одно обстоятельство, не имеющее отношения к самому доказательству: дело в том, что результат этот свидетельствует о достаточности выбранных нами аксиом для получения всех тавтологичных формул — иными словами, всех логически истинных высказываний, выразимых на языке исчисления высказываний. Системы аксиом, обладающие таким свойством, принято называть «полными».

Вопрос о полноте той или иной системы аксиом представляет, как правило, большой интерес. В самом деле, основным стимулом для аксиоматизации различных разделов математики бывает стремление найти подходящий перечень исходных допущений, из которых затем можно было бы вывести все истинные предложения данной области. Скажем, когда Евклид формулировал некоторую аксиоматизацию элементарной геометрии, он старался отобрать аксиомы таким образом, чтобы из них можно было вывести все истинные геометрические утверждения, не только уже известные в то время, но в принципе и любые другие, которые можно было бы научиться доказывать когда-либо в будущем.

Помимо прочего, Евклид обнаружил поразительную проницательность своей трактовкой знаменитой аксиомы параллельности как допущения, логически не зависящего от остальных аксиом предложенной им системы. Лишь спустя много времени удалось доказать, что эта аксиома действительно не может быть выведена из остальных аксиом Евклида, т. е. что без аксиомы параллельности эта система аксиом неполна.

До недавнего времени считалось более или менее само собой разумеющимся, что для каждой конкретной области математики можно подобрать полную систему аксиом. В частности, математики были убеждены, что система аксиом, предложенная для аксиоматизации арифметики натуральных чисел, полна или во всяком случае может быть пополнена (сделана полной) добавлением к исходному перечню еще конечного списка аксиом. Одним из величайших открытий Гёделя и было как раз обнаружение невозможности такой полной аксиоматизации арифметики.

Исчисление высказываний представляет собой пример математической системы, по отношению к которой задачи, выдвигаемые гильбертовской теорией доказательства, оказались, как мы видели, полностью реализованными. Конечно, это исчисление формализует лишь некоторый фрагмент формальной логики, язык и дедуктивный аппарат которого недостаточны даже для формального построения элементарной арифметики. Но возможности гильбертовской программы отнюдь не ограничиваются доказательством непротиворечивости исчисления высказываний. Можно привести примеры гораздо более богатых теорий, для которых оказалось возможным дать строго метаматематические доказательства непротиворечивости и полноты. Примером может служить арифметическая система с операцией сложения (но без операции умножения) натуральных чисел, для которой также можно провести абсолютное доказательство непротиворечивости. Но достаточно ли сильны финитные методы Гильберта для установления непротиворечивости систем вроде Principia — систем, выразительные и логические средства которых позволяют построить всю арифметику, а не только отдельные ее фрагменты? Неоднократные попытки найти такое доказательство успехом не увенчались, а работа Гёделя 1931 г. показала, что они и не могли быть успешными, так как, строго придерживаясь границ, предначертанных в исходной формулировке гильбертовской программы, эту задачу вообще решить нельзя.

Что же, собственно, доказал Гёдель и как именно доказал? В работе Гёделя имеются два основных результата. Прежде всего (мы здесь не имеем в виду тот порядок, в каком эти результаты излагаются в самой работе Гёделя) он доказывает невозможность метаматематического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, которое (доказательство) не использовало бы каких-либо существенно иных правил вывода, кроме тех, что используются для вывода теорем в самой рассматриваемой системе. Конечно, и такое (пользующееся более сильными в некотором смысле правилами вывода) доказательство может быть очень важным и полезным. Но все же если доказательство строится на основе правил вывода, значительно более мощных, нежели логические средства арифметического исчисления, так что уверенность в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений будет ничуть не больше, чем расчеты на непротиворечивость арифметики, то ценность такого доказательства будет довольно-таки специфической: мы убьем одно чудовище ценой рождения другого. Во всяком случае, если это доказательство будет не финитистским, то основной пункт гильбертовской программы останется, конечно, невыполненным. Гёделевское рассуждение как раз и показывает всю беспочвенность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.

Второй основной результат работы Гёделя, пожалуй, еще более неожидан и поразителен; он указывает на некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Гёдель показывает, что система Principia Mathematica, как и всякая иная система, средствами которой можно построить арифметику, — существенно неполна. Это значит, что для любой данной непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, не выводимые из аксиом этой системы.

Это обстоятельство играет решающую роль для оценки всей работы Гёделя, и на нем стоит остановиться несколько подробнее. Математикам хорошо известны примеры общих утверждений, для которых до сих пор не найдено никакого опровергающего примера, но не найдено и доказательства. Классическим примером такого рода может служить знаменитая «теорема Гольдбаха», утверждающая, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Мы не можем указать ни одного четного числа, которое не являлось бы суммой двух простых, но у нас нет и доказательства гипотезы Гольдбаха, пригодного для всех четных чисел. Таким образом, перед нами — арифметическое утверждение, которое вполне может быть истинным, но не выводимым из аксиом арифметики. Допустим, что это действительно так (утверждать подобное мы, разумеется, не можем). Представим себе, что мы изменили или пополнили исходную аксиоматику таким образом, чтобы все истинные, но не выводимые в исходной системе предложения (к их числу относится, по сделанному только что предположению, гипотеза Гольдбаха) станут в расширенной системе выводимыми[9]. Теорема Гёделя показывает, что никакое такое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, т. е. что даже если пополнить ее бесконечным множеством аксиом, все равно в новой системе найдутся истинные, но не выводимые (хотя и выразимые!) ее средствами предложения.