В качестве еще одного примера компактного пространства можно привести струнные музыкальные инструменты, например скрипку, которые при помощи определенных колебаний, или волн, порождают не частицы, а звуки. Звук, производимый струной, зависит не только от ее длины и толщины, но и от формы внутренней части инструмента — акустической камеры, — где волны определенных частот входят в резонанс, достигая максимальной амплитуды. Струны музыкальных инструментов получили названия по их основным частотам, для большинства скрипок это G, D, A и E (соль, ре, ля, ми). Физики, подобно скрипичным мастерам, подбирающим формы, соответствующие тем звукам, которые они собираются получить, охотятся на многообразия Калаби-Яу с соответствующей геометрией, способной привести к возникновению тех волн и частиц, с которыми мы постоянно сталкиваемся в окружающем нас мире.
Путь, который физики обычно выбирают для атаки на задачи такого рода, состоит в нахождении решений волнового уравнения, более известного как уравнение Дирака. Решениями волнового уравнения, что неудивительно, являются волны — и соответствующие им частицы. Но это очень сложное для решения уравнение, и мы обычно не в состоянии решить его для всех элементарных частиц, существующих в природе. Это возможно только для так называемых безмассовых частиц, соответствующих нижним, или фундаментальным, частотам определенной струны. К безмассовым принято относить все частицы, которые мы видим или интуитивно чувствуем в окружающем мире, включая те, которые лишь на считанные мгновения возникают внутри ускорителей. Некоторые из этих частиц — например, электроны, мюоны и нейтрино — на самом деле имеют массу, хотя и называются безмассовыми. Но механизм обретения ими массы совершенно не похож на механизм обретения массы так называемыми массивными частицами, формирование которых ожидается при более высоких энергиях на «струнной шкале». Масса обычных частиц (например, электронов) намного меньше массы частиц, называемых массивными, — в квадриллион раз или даже больше, — поэтому определение обычных частиц как безмассовых представляет собой достаточно хорошую аппроксимацию.
Даже если ограничить себя только безмассовыми частицами, получив тем самым возможность найти решения уравнения Дирака, задача по-прежнему останется весьма непростой. К счастью, многообразия Калаби-Яу обладают определенными характеристиками, которые помогают в этом вопросе. Первой из них является суперсимметрия, уменьшающая число переменных, превращая тем самым дифференциальное уравнение второго порядка (уравнение, в котором некоторые из производных взяты дважды) в дифференциальное уравнение первого порядка (уравнение, в котором все производные взяты только единожды). Еще одним вкладом суперсимметрии в решение уравнения является то, что она сопоставляет каждому фермиону свой собственный бозон. Найдя все фермионы, вы автоматически найдете и все бозоны, и наоборот. Итак, достаточно разобраться только с одним из классов частиц, поэтому можно выбрать тот из них, для которого уравнения решать проще.
Еще одной особенностью многообразий Калаби-Яу и, в частности, их геометрии, является то, что для них решения уравнения Дирака — в этом случае соответствующие безмассовым частицам — совпадают с решениями другого уравнения, известного как уравнение Лапласа, работать с которым намного проще. Наибольшее преимущество в данном случае заключается в том, что решения уравнения Лапласа можно получить — и, следовательно, распознать безмассовые частицы, — в принципе, и не решая каких-либо дифференциальных уравнений. Нет необходимости знать точную геометрию или метрику многообразий Калаби-Яу. Вместо этого все необходимое можно получить из топологических «данных» о многообразии Калаби-Яу, содержащихся в матрице 4?4, называемой ромбом Ходжа. О ромбах Ходжа речь пойдет в следующей главе, поэтому сейчас я скажу только то, что эта топологическая уловка позволяет нам весьма успешно собрать воедино все безмассовые частицы.
Впрочем, нахождение частиц является только началом. В конце концов, физика — это нечто большее, чем простой набор частиц. Кроме этого существуют еще и силы или взаимодействия между частицами. В теории струн струнные петли, движущиеся через пространство, могут либо соединяться, либо расщепляться, и их склонность к одному или другому процессу зависит от струнной константы связи, выступающей мерой взаимодействия между струнами.
Расчет сил взаимодействия между частицами является весьма кропотливой задачей, требующей для своего решения использования почти всего арсенала инструментов теории струн, так что работа над одной моделью на практике занимает не меньше года. И вновь суперсимметрия делает наши вычисления менее накладными. Также может помочь и математика, поскольку этот тип проблем уже давно знаком геометрам, в результате чего у них появилось множество инструментов, которыми можно воспользоваться. Петля, свободно движущаяся и колеблющаяся в пространстве Калаби-Яу, может самопроизвольно превратиться в восьмерку и затем расщепиться на две отдельные петли. И напротив, две отдельные петли могут объединиться в восьмерку. При прохождении через пространство-время эти петли заметают риманову поверхность, точно определяющую картину взаимодействий между струнами, хотя до появления на сцене теории струн математикам не приходило в голову каким-то образом связать ее с физикой.
Насколько же близко могут подойти ученые в своих предсказаниях к свойствам реального мира, получив в руки все эти инструменты? Этой теме будет посвящена девятая глава, а сейчас мы рассмотрим статью Канделаса, Горовица, Строминджера и Виттена, вышедшую в 1985 году и представляющую собой первую серьезную попытку показать способность теории струн при помощи компактификаций Калаби-Яу описывать реальный мир.[73] Уже тогда физики были способны получать хорошее соответствие теории с практикой. В частности, их модель предсказала оптимальную для случая четырех измерений суперсимметрию, обозначаемую как N=1, что означает инвариантность пространства относительно четырех симметричных преобразований, которые можно рассматривать как четыре различных вида вращений. Это само по себе уже являлось большим успехом, так как в случае получения ими максимального значения суперсимметрии N = 8, что соответствовало бы наиболее сложной ситуации — инвариантности относительно двадцати двух различных симметричных операций, — это наложило бы на физику столь сильные ограничения, что единственным допустимым вариантом Вселенной стало бы плоское пространство без какой-либо кривизны, в существовании которой, конечно, сомнений быть не может, или любых других неоднородностей типа черных дыр, делающих жизнь, по крайней мере, физиков-теоретиков, столь интересной. В случае, если бы Канделас и его коллеги потерпели неудачу на этом фронте и было бы получено доказательство, что данные шестимерные пространства не способны обладать необходимой суперсимметрией, компактификация в теории струн, по крайней мере, для данного примера, потерпела бы неудачу.
Эта статья стала огромным шагом вперед и в настоящее время рассматривается как этап первой струнной революции, хотя в некоторых вопросах, например в предсказании количества поколений элементарных частиц, она промазала мимо цели. В стандартной модели, принятой в физике элементарных частиц, — модели, на протяжении уже нескольких десятилетий задающей тон в этой области физики и включающей в себя электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия, — все элементарные частицы, из которых состоит вещество, разделены на три поколения. Каждое из поколений состоит из двух кварков, электрона или одного из его аналогов (мюона или таона) и нейтрино, которое также бывает трех видов — электронное, мюонное и таонное. Частицы, принадлежащие к первому поколению, наиболее привычны для нашего мира, являясь одновременно наиболее стабильными и наименее массивными. Частицы из третьего поколения обладают наименьшей стабильностью и наибольшей массой, тогда как члены второго поколения находятся примерно посередине. К глубокому сожалению для Канделаса и компании, многообразия Калаби-Яу, с которыми они работали, дали на выходе четыре поколения элементарных частиц. Они ошиблись лишь на единицу, но в этом случае разница между тремя и четырьмя была огромной.
