В 1984 году Строминджер и Виттен начали активно работать над решением задачи о числе поколений и в конце концов обратились ко мне с вопросом о существовании многообразий Калаби-Яу, которые приводили бы не к четырем, а к трем поколениям элементарных частиц. Горовиц в общении со мной также подчеркнул важность этого момента. Итак, существовала необходимость в многообразии с эйлеровой характеристикой, равной 6 или -6, поскольку, как показал Виттен за несколько лет до этого, для определенного класса многообразий Калаби-Яу, обладающих, помимо всего прочего, нетривиальной фундаментальной группой или нестягиваемой петлей, число поколений равно модулю эйлеровой характеристики, деленному на два. Один из вариантов этой формулы фигурировал в часто цитируемой статье, выпущенной «четверкой» в 1985 году.

Мне удалось выкроить немного времени на то, чтобы заняться этой проблемой, в том же году во время перелета из Сан-Диего в Чикаго по пути в Аргоннскую национальную лабораторию, проводившую одну из первых крупных конференций по теории струн. Мне предстояло выступить с докладом, и время, проведенное на борту самолета, я планировал посвятить подготовке к своему выступлению. Мне пришло в голову, что я, возможно, смогу прояснить вопрос о трех поколениях, который мои друзья-физики считают столь важным. Я оказался прав и по окончанию полета смог представить искомое решение — многообразие Калаби-Яу с эйлеровой характеристикой, равной -6, что сделало это многообразие первым, приводящим к трем поколениям элементарных частиц, как и требовалось в рамках стандартной модели. Хотя это и не было огромным прыжком вперед, тем не менее стало своеобразным «маленьким шагом» — как представил его Виттен.[74]

Я сконструировал это многообразие при помощи скорее формального, хотя впоследствии и доказавшего свою действенность, метода. Для начала я взял декартово произведение двух кубических гиперповерхностей. Гиперповерхность является подмногообразием, то есть поверхностью, размерность которой на единицу меньше размерности пространства, в котором она находится, подобно диску, входящему в шар, или отрезку прямой, являющемуся частью диска. Таким образом, гиперповерхность кубической поверхности с тремя комплексными измерениями имеет два комплексных измерения. Произведение двух таких гиперповерхностей имеет 2?2=4 комплексных измерения. Это на одно измерение больше, чем нужно, и я укоротил многообразие до трех комплексных измерений (или шести вещественных), необходимых для теории струн, найдя его поперечное сечение.

К сожалению, многообразие, полученное в результате этой процедуры, являлось не совсем тем, которое нам было нужно, поскольку оно порождало не три поколения частиц, а девять. Однако это многообразие характеризуется симметрией третьего порядка, что позволило мне создать так называемое фактор-многообразие, в котором каждая точка соответствовала трем точкам в исходном многообразии. Нахождение фактор-многообразия в этом случае было подобно делению исходного многообразия на три равных части. Таким образом, число точек уменьшилось в три раза, так же как и число поколений.

Насколько мне известно, это фактор-многообразие было первым — и долгое время единственным — многообразием Калаби-Яу, имеющим эйлерову характеристику 6 или -6, что открывало возможность его использования для создания трех поколений элементарных частиц. И действительно, я не слышал ни о чем подобном вплоть до конца 2009 года, когда Канделасу с двумя его коллегами — Фолькером Брауном из Дублинского института перспективных исследований и Рисом Дэвисом из Оксфорда — удалось проделать что-то подобное, создав многообразие Калаби-Яу с эйлеровой характеристикой, равной -72, и фактор-многообразие с эйлеровой характеристикой, равной -6. По иронии судьбы, в конце 1980-х Канделасу с двумя его коллегами удалось создать и исходное (или «родительское») многообразие Калаби-Яу — одно из восьми тысяч многообразий, созданных на то время, — но его потенциальную применимость он осознал только более чем через двадцать лет.[75]

Рис. 6.5. Геометрия позволяет нам уменьшить число измерений объекта, разрезав его и рассматривая только полученное поперечное сечение. К примеру, разрезав трехмерное яблоко, вы обнаружите двухмерную поверхность — одну из множества поверхностей, которые можно получить, в зависимости от того, где и как вы разрезали. Следующий разрез позволит получить одномерную линию на поверхности. Разрезая эту линию, вы получите отдельную (нульмерную) точку. Таким образом, каждый успешный разрез, вплоть до получения точки, уменьшает размерность объекта на единицу

Я затронул этот вопрос, поскольку в далеком 1986 году, когда Брайан Грин только начинал свои попытки извлечь подлинную физику из многообразий Калаби-Яу, возможных вариантов многообразий существовало не так уж много. Для того чтобы получить правильное число поколений, он принял на вооружение то многообразие, которое я создал в 1984 году по пути в Аргонскую национальную лабораторию. Работая над этой проблемой сначала в качестве аспиранта Оксфордского университета, а затем моего постдока в Гарварде, Грин совместно с Келли Кирклином, Полом Мироном и своим бывшим руководителем по Оксфорду Грэхемом Россом подошел еще ближе к Стандартной модели, чем Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен за год до этого. Модель Грина содержала гораздо больше информации — буквально пошаговое руководство по извлечению физических характеристик из многообразий Калаби-Яу. Он и его коллеги получили правильную суперсимметрию, верное число поколений, массивные нейтрино (с чрезвычайно малой массой) и почти все, что только можно было желать, за исключением нескольких дополнительных частиц, существование которых в данном случае и не предполагалось. Итак, это многообразие Калаби-Яу оказалось близко к желаемому — ближе, чем какое-либо другое до этого, — но все же не совсем тем, которое требовалось для решения данного вопроса. Это, конечно, не стоит воспринимать как критику их работы, так как почти четверть века спустя полностью разобраться в этом «вопросе» так никому и не удалось.

В те далекие дни физики надеялись, что существует только одно многообразие Калаби-Яу, которым им придется заниматься, — уникальное решение, из которого можно рассчитать все остальное, — или, по крайней мере, что количество их столь невелико, что не составит труда быстро отбросить наименее подходящие и выбрать из оставшихся то, которое нужно. Когда Строминджер и Виттен впервые спросили меня о количестве известных и уже сконструированных многообразий Калаби-Яу, я смог привести с определенностью только два примера. Одна из этих поверхностей, трехмерная поверхность пятого порядка, по-видимому, является простейшим возможным многообразием Калаби-Яу. Это поверхность пятого порядка, поскольку ее можно описать при помощи полиномиального уравнения пятого порядка, имеющего общий вид z₁⁵+z₂⁵+z₃⁵+z₄⁵+z₅⁵=z₁?z₂?z₃?z₄?z₅. Трехмерной она называется потому, что имеет три комплексных измерения. Второе многообразие Калаби-Яу можно было получить путем объединения (или нахождения прямого произведения) трех комплексных одномерных тороидов и модифицирования полученного результата.

Примерно в это время Строминджер спросил меня об общем количестве возможных многообразий Калаби-Яу. Я сказал, что, вероятно, речь может идти о десятках тысяч многообразий, каждое из которых обладает своей собственной топологией и является определенным решением уравнений теории струн. В рамках каждого из этих топологически различных семейств, кроме того, лежало бесконечное разнообразие возможных форм. Именно это я и заявил перед огромной толпой физиков, собравшихся на мою лекцию в Аргоннской национальной лаборатории в 1984 году, и многие из них испытали потрясение, когда я сказал о цифре десять тысяч, — что впоследствии оказалось достаточно точной оценкой.