В связи с особенностями движения планеты Меркурий и Венера были названы нижними. Марс, Юпитер и Сатурн — верхними планетами. В системе мира Птолемея центры эпициклов нижних планет всегда расположены на прямой, соединяющей Землю с Солнцем, а каждая из верхних планет находится на эпицикле строго в том же направлении, в котором относительно Земли находится Солнце, иначе говоря, радиусы-векторы эпициклов Марса, Юпитера и Сатурна всегда параллельны между собой. Видно также, что верхняя планета, занимая на небе положение, противоположное Солнцу (противостояние планеты), находится в ближайшем к Земле положении — в перигее (от греческого «пери» — вблизи). В момент же соединения планеты с Солнцем, когда направления на оба светила совпадают, планета находится в апогее — в наиболее удаленной от Земли точке (от греческого «апо» — вдали).

Как замечает А.И. Климишин, «возникает вопрос: если система Птолемея ошибочна, поскольку она основывалась на ложном представлении о неподвижной Земле как центре мироздания, то почему расчеты, проведенные на ее основе, дают правильные результаты? Ведь именно поэтому она использовалась астрономами почти 1400 лет. Ответ на поставленный вопрос очевиден: это система кинематическая. Птолемей не объяснял (да и не мог объяснить), почему движение планеты именно такое, каким он его описывал. Но каждое движение относительно. И, как это ни парадоксально звучит, Птолемей описал и смоделировал движение каждой из планет совершенно правильно — так, как его действительно видит наблюдатель с Земли. Эпицикл верхней планеты и есть отображение движения Земли вокруг Солнца (в случае нижней планеты это ее деферент)».

Но «…с помощью данных Птолемея было трудно согласовать между собой сведения о положениях той или другой планеты, разделенных промежутком времени в несколько сотен лет. Поэтому его система все больше усложнялась, в нее вводили множество дополнительных эпициклов, что сделало ее исключительно громоздкой. Явно противоречила наблюдениям построенная Птолемеем теория движения Луны. В итоге перегруженная эпициклами модель Птолемея рухнула. Произошла революция во взглядах на мир и место Земли во Вселенной…»

Планеты благодаря своим внешне сложным движениям сыграли решающую роль в астрономии и вообще в построении фундамента механики и физики. Еще древнегреческие астрономы поставили вопрос, не являются ли наблюдаемые сложные перемещения по небу лишь отражением более регулярных движений планет в пространстве. С этого времени начинается теоретическое построение схем планетной системы, или же, как мы говорили выше, кинематики планетных движений в пространстве.

Один из первых коперниканцев, немецкий математик и астроном Эразм Рейнгольд (1511–1553) составил в 1551 году, основываясь на гелиоцентрической системе Коперника, таблицы движения планет, названные им «Прусские таблицы». Эти таблицы оказались более точными, чем все предыдущие, основанные на старых схемах, и это очень способствовало укреплению идеи гелиоцентризма, с огромным трудом пробивающей себе путь сквозь устоявшиеся веками и привычные для тех времен взгляды, а также преодолевающей реакционное идеологическое давление церкви.

Тем не менее вскоре астрономы обнаружили расхождение и этих таблиц с данными наблюдений движения небесных тел.

Для передовых ученых было ясно, что учение Коперника правильно, но надо было глубже исследовать и выяснить законы движения планет. Эту задачу решил великий немецкий ученый Кеплер.

Иоганн Кеплер (1571–1630) появился на свет в маленьком городке Вейле близ Штутгарта. Кеплер родился в бедной семье, и поэтому ему с большим трудом удалось окончить школу и поступить в 1589 году в Тюбингенский университет. Здесь он с увлечением занимался математикой и астрономией. Его учитель профессор Местлин втайне был последователем Коперника. Конечно, в университете Местлин преподавал астрономию по Птолемею, но дома он знакомил своего ученика с основами нового учения. И вскоре Кеплер стал горячим и убежденным сторонником теории Коперника.

В отличие от Местлина, Кеплер не скрывал своих взглядов и убеждений. Открытая пропаганда учения Коперника очень скоро навлекла на него ненависть местных богословов. Еще до окончания университета, в 1594 году, Иоганна посылают преподавать математику в протестантское училище города Граца, столицы австрийской провинции Штирии.

Уже в 1596 году он издает «Космографическую тайну», где, принимая вывод Коперника о центральном положении Солнца в планетной системе, пытается найти связь между расстояниями планетных орбит и радиусами сфер, в которые в определенном порядке вписаны и вокруг которых описаны правильные многогранники. Несмотря на то, что этот труд Кеплера оставался еще образцом схоластического, квазинаучного мудрствования, он принес автору известность. Знаменитый датский астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546–1601), скептически отнесшийся к самой схеме, отдал должное самостоятельности мышления молодого ученого, знанию им астрономии, искусству и настойчивости в вычислениях и выразил желание встретиться с ним. Состоявшаяся позже встреча имела исключительное значение для дальнейшего развития астрономии.

В 1600 году приехавший в Прагу Браге предложил Иоганну работу в качестве своего помощника для наблюдений неба и астрономических вычислений. Незадолго перед этим Браге был вынужден оставить свою родину Данию и выстроенную им там обсерваторию, где он в течение четверти века вел астрономические наблюдения. Эта обсерватория была снабжена лучшими измерительными инструментами, а сам Браге был искуснейшим наблюдателем. Ученый с большим интересом относился к учению Коперника, но сторонником его не был. Он выдвигал свое объяснение устройства мира: планеты он признавал спутниками Солнца, а Солнце, Луну и звезды считал телами, обращающимися вокруг Земли, за которой, таким образом, сохранялось положение центра всей Вселенной.

Браге работал вместе с Кеплером недолго: в 1601 году он умер. После его смерти Кеплер начал изучать оставшиеся материалы с данными долголетних астрономических наблюдений. Работая над ними, в особенности над материалами о движении Марса, Кеплер сделал замечательное открытие: он вывел законы движения планет, ставшие основой теоретической астрономии.

Отправным пунктом для Кеплера служило сравнение теории и наблюдений. Дело в том, что к концу XVI века Прусские таблицы, составленные, как уже говорилось выше, стали предсказывать движение планет очень неточно Наблюденные и вычисленные по этим таблицам положения планет отличались на 4–5 градусов, что было недопустимо в астрономической практике. Отсюда вытекало, что планетная теория Коперника нуждается в исправлении и дополнении.

В начале Кеплер пошел по пути уточнения и усложнения схемы Коперника. Конечно, он был глубоко убежден в истинности принципа гелиоцентризма и стал подбирать новые комбинации окружностей (эпициклов, эксцентров). Ему удалось подобрать, в конце концов, такую комбинацию, что его схема давала ошибку по сравнению с наблюдениями до 8 минут. Но Кеплер был уверен, что Тихо Браге в своих наблюдениях не мог допускать таких ошибок.

Поэтому Кеплер заключил, что «виновата» теория, поскольку она не согласуется с астрономической практикой. Он отбросил полностью схему, основанную на эпициклах и эксцентрах, и стал искать другие схемы.

Кеплер пришел к мысли о неправильности установившегося с древности мнения о круговой форме планетных орбит. Путем вычислений он доказал, что планеты движутся не по кругам, а по эллипсам — замкнутым кривым, форма которых несколько отличается от круга. При решении данной задачи Кеплеру пришлось встретиться со случаем, который, вообще говоря, методами математики постоянных величин решен быть не мог. Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга. Если эту задачу перевести на современный математический язык, мы придем к эллиптическому интегралу. Дать решение задачи в квадратурах Кеплер, естественно, не мог, но он не отступил перед возникшими трудностями и решил задачу путем суммирования бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Этот подход к решению важной и сложной практической задачи представлял собой в новое время первый шаг в предыстории математического анализа.