Если существует

, то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций .

  Если функция f (x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u  = v + iw . Например, если существует

, а > 0, то Ф. п. определено при |w | < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование )

 .

  Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x ) таких, что (1 + |x |)^–1f (x ) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

  Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции , это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x ) Стилтьеса интегралом

     (10)

и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u ) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u₁ ,..., u_n , x₁ ,...,x_n было

(теорема Бохнера — Хинчина).

  Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

  Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Фурье ряд

Фурье' ряд,тригонометрический ряд , служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x ) имеет период 2T , то её Ф. р. имеет вид

,

где a , a_n , b_n (n ³ 1) — Фурье коэффициенты . В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

  Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций , а именно — по тригонометрической системе 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x ,..., cos nx , sin nx ,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

обращают в минимум интеграл

,

где t_n (x ) — произвольный тригонометрический полином порядка £ n , а функция f (x ) интегрируема с квадратом. При этом

 ,

так что функции f (x ), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций ).

  Для любой интегрируемой функции f (x ) коэффициенты Фурье a_n , b_n при n ® ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x ) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x ) интегрируем, то ряд

 сходится и имеет место равенство Парсеваля

.

  Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a_n , b_n со сходящимся рядом

 существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.

  Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x ) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле ). Более общо, если f (x ) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x ) непрерывна (К. Жордан ). Если f (x ) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f ) удовлетворяет условию

, то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).

  Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x зависит от поведения функции f (x ) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x функция f (x ) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x — 0) и f (x + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x , то он сходится к значению ¹ /₂ {f (x — 0) + f (x + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x ) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x ).