(3’’)

или более точные формулы:

       (1’’’)

           (3’’’)

  С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')—(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (2₁)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3₁)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 — начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 — начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 — начало 19 вв.) и др.

  Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.

Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.

Сферические координаты

Сфери'ческие координа'ты точки М, три числа r, q, j, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О (рис.) проводятся три взаимно оси Ox, Оу, Oz. Число r равно расстоянию от точки О до точки М,q представляет собой угол между вектором

 и положительным направлением оси Oz, j — угол, на который надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось Ox до совпадения с вектором  (N — проекция точки М на плоскость хОу). С. к. точки М зависят, таким образом, от выбора точки О и трёх осей Ox, Оу, Oz. Связь С. к. с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:

, , .

С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях к физике и технике.

Рис. к ст. Сферические координаты.

Сферические функции

Сфери'ческие фу'нкции, специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

,

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:

,

где a_m — постоянные,

 — присоединённые функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством:

,

где Р_п — Лежандра многочлены.

  С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e ^imj} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С. ф.:

С. ф. степени l

при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

  (1)

(q^–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q^–1). Коэффициенты

 являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

  С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

,

где cos g = cos q cos q‘ + sinq sinq' cos (j —j’), g — сферическое расстояние точки (q, j) от точки (q', j’).

  Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть

 — поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. , сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, q, j), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функциюсоответственно степени n - 1 и n.

  С. ф. были введены А. Лежандроми П. Лапласом в конце 18 в.

  Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.

Сферический избыток

Сфери'ческий избы'ток, превышение суммы углов сферического треугольника сверх 180°, то есть сверх суммы углов прямолинейного треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника, образованного тремя геодезическими линиями на поверхности с положительной кривизной, т. е. на выпуклой поверхности, всегда больше двух прямых и равна