А. В. Кочеров.

Характеристическая кривая

Характеристи'ческая кривая, одна из важнейших характеристик фотографического материала, выражающая зависимость (при оговорённых условиях экспонирования и проявления) между оптической плотностью полученного на материале почернения фотографического и десятичным логарифмом экспозиции (называемым также количеством освещения), вызвавшей это почернение. См. ст. Сенситометрия (рис. 1 ) и литература при ней.

Характеристическая функция

Характеристи'ческая фу'нкция в математике,

1) то же, что собственная функция .

2) Х. ф. множества А (в современной терминологии — индикатор А ) — функция f (x ), определённая на некотором множестве Е , содержащем множество А , и принимающая значение f (x ) = 1, если x принадлежит множеству А , и значение f (x ) = 0, если x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Х. ф. f_X (t ) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины e^itX . Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятностиp_X (x ), приводит к формуле

.

  Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Х. ф. равна

.

  Свойства Х. ф.: каждой случайной величине Х соответствует определённая Х. ф. f_X (t ); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по f_X (t ); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.

  Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).

  Теория Х. ф. имеет много общего с теорией Фурье интеграла .

  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.

Характеристические спектры

Характеристи'ческие спе'ктры, линейчатые рентгеновские спектры, вызванные электронными переходами на внутренней оболочки (слои) атомов. Длины волн Х. с. лежат в интервале от 10^-2нм до 5×10 нм и, согласно Мозли закону , зависят от атомного номера элемента. Они не обнаруживают периодических закономерностей, присущих оптическим спектрам, что объясняется сходным строением внутренних электронных оболочек всех элементов.

  Х. с. возникают при возбуждении атомов рентгеновскими фотонами или ускоренными электронами. При этом выбивается один из внутренних электронов, например с К -оболочки атома, и в ней появляется вакансия, которая заполняется при переходе электрона с L- , М- или более высоко лежащей оболочки с испусканием рентгеновского фотона определённой частоты. Совокупность линий, возникающих при переходах электронов с вышележащих оболочек на K- , L- и т.д. оболочки, называется, соответственно, K- , L- и т.д. сериями. Внутри серии линии принято обозначать индексами a, b, g и т.д. Например, линия перехода L ® K обозначается К_a (см. рис. 1 в ст. Рентгеновские спектры ). Дискретность, присущая Х. с. испускания, проявляется и в спектрах поглощения рентгеновских лучей (см. рис. ).

  Х. с. используют для исследований структуры материалов (см. Рентгеновский структурный анализ , Рентгенография материалов , Рентгеновская топография ), а также в спектральном анализе рентгеновском .

  А. В. Колпаков.

Зависимость коэффициента поглощения m от частоты излучения n для Pt. Показаны К-, L-, M- и N- серии спектра поглощения рентгеновского излучения.

Характеристические частоты

Характеристи'ческие часто'ты, одинаковые или мало отличающиеся друг от друга частоты колебаний определённых групп атомов в различных молекулах; соответствуют определённым химическим связям (например, С—Н, С—С, С=С, С—Cl и др.). Устойчивость Х. ч. связана с сохранением динамических свойств одинаковых групп атомов в разных молекулах. Во многих случаях можно теоретически рассчитать, обладает ли определённая химическая группа Х. ч. Интенсивности спектральных линий, соответствующих Х. ч. определённой химической группы в различных молекулах, часто имеют близкие значения. Наличие Х. ч. в молекулярных спектрах позволяет делать выводы о строении молекул и имеет большое значение в спектральном анализе . По изменению интенсивностей Х. ч. можно судить о скорости химических процессов.

  Лит.: Маянц Л. С., Теория и расчет колебаний молекул, М., 1960; Колебания молекул, 2 изд., М., 1972; Свердлов Л. М., Ковнер М. А., Крайнов Е. П., Колебательные спектры многоатомных молекул, М., 1970; Беллами Л. Д., Инфракрасные спектры сложных молекул, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; Применение спектроскопии в химии, пер. с англ., М., 1959.

  Л. Ф. Уткана.

Характеристические числа

Характеристи'ческие чи'сла (математические), то же, что собственные значения .

Характеристический многочлен

Характеристи'ческий многочле'н, многочлен, стоящий в левой части характеристического уравнения .

Характеристическое уравнение

Характеристи'ческое уравне'ние в математике,

  1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицыА = ||a_ik ||ⁿ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида

 (i < k ) и т.д., а S_n — определитель матрицы А . Корни Х. у. l₁ , l₂ ,..., l_n называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k | = 1.