Рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, включая ноль, называются действительными числами. Чтобы вообразить действительные числа, мы можем представить себе, что каждое число соответствует точке прямой, где самые большие числа находятся справа. Действительные числа, подобно точкам на прямой, простираются от минус бесконечности слева до плюс бесконечности справа и включают все возможные числа — целые, рациональные и иррациональные. Это соответствие действительных чисел с точками прямой явилась решающим шагом в осознании того, что геометрия — свойства различных линий, а значит, наборов точек, а значит, наборов действительных чисел — может рассматриваться, как ветвь арифметики. Мы не пойдем по этому пути в настоящей главе, но вам следует иметь в виду, что, хотя мы и будем сосредотачиваться на идеях, которые являются явно арифметическими, в скрытом виде они включают и другие области математики, такие как геометрия (рис. 10.4).

На самом деле, арифметика даже более богата. В соответствии с чрезвычайно важной, но обманчиво краткой теоремой, которую доказал в 1915 г. немецкий математик Леопольд Лёвенгейм (1878-1957) и усовершенствовал в 1920 г. норвежец Альберт Тораф Сколем (1887-1963), система правил, подобных правилам арифметики, действует в любой области знания, которая может быть формализована в терминах набора аксиом. Если бы в школе вам говорили, что, согласно теореме Лёвенгейма-Сколема, вы, на самом деле, моделируете процесс вывода заключений из квантовой механики, теории естественного отбора и юриспруденции (постольку, поскольку эти области знания могут быть выражены в терминах аксиом), это могло бы смягчить утомление от узнавания, как извлекать квадратный корень и проделывать длинные упражнения на деление. То же самое верно относительно остальной части этой главы: хотя многое в ней будет читаться, как относящееся к арифметике, имейте в виду, что это в действительности относится к любой систематизированной области человеческого знания. Если уж это не захватывает дух, то я просто не знаю, чем вас пронять.

Некоторые иррациональные числа, включая π, но не √2, являются трансцендентными, в том смысле, что они «трансцендируют», переступают обычные алгебраические уравнения. Это просто означает, что они не являются решениями простых алгебраических уравнений, подобных 3x ²− 5x + 7 = 0. Так,  x= √2 есть решение уравнения х ²− 2 = 0, поэтому (как решение такого уравнения), это число алгебраическое, а не трансцендентное. Однако не существует уравнения такого вида, решением которого было бы  x= πили  x = e, поэтому πи  eне только иррациональные, но и трансцендентные числа. В 1934 г. русский математик Александр Гельфонд (1906-68) доказал, что a ^bявляется трансцендентным, если  aалгебраическое (отличное от 0 и 1) число, a b— алгебраическое и иррациональное (как √2); так, 2 ^√2, например, трансцендентно, поскольку 2 — алгебраическое, а иррациональное число √2 — тоже алгебраическое. Поэтому мы сразу знаем, что не существует алгебраического уравнения, решением которого было бы 2 ^√2. Между прочим, название «алгебра», которое только что появилось, произошло от Al-jabr w'al muqâbala(Восстановление и упрощение), названия книги Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми, написанной в 830 г. Al-jabr, «возвращение», здесь относится к решению уравнений, но очаровательно, что этот термин означает также и «костоправ». Аль-Хорезми отличился дважды: его имя тоже является источником термина «алгоритм», обозначающего серию процедур для решения уравнений.

Мы видели, что решения различных уравнений порождают классы чисел, известные под общим названием «алгебраические числа». Решения уравнений, подобных 2x = 1, дают нам рациональные числа (в данном случае  x= 1/2), в то время как уравнения, подобные x ²= 2, дают нам иррациональные числа (в данном случае  x= √2); числа, не являющиеся решениями уравнений, подобных этим, являются трансцендентными числами (как  x= 2 ^√2). Натуральные числа можно представить как решения уравнений, подобных  x − 2 = 1(с решением  x= 3), а отрицательные числа как решения уравнений, подобных  x + 2 = 1(с решением  x= −1). Но существует простое уравнение, выпадающее из этого списка: каково решение уравнения x ²+ 1 = 0? Ни одно из чисел введенных ранее не является его решением, поскольку квадрат любого из них положителен и, будучи прибавлен к 1, не может дать нуля. В значительной мере потому, что математики не хотели признавать, что некоторые уравнения не имеют решения, они ввели понятие мнимого числа i, которое является решением уравнения x ²+ 1 = 0; другими словами,  x= √( −1). Поскольку они — на самом деле, Декарт — считали, что чисел, подобных  iи i, умноженному на любое число, в действительности не существует, они и назвали их «мнимыми».

Вскоре стало ясно, что некоторые уравнения, такие как x ²− x + 1 = 0, имеют решения, представляющие собой комбинации действительных и мнимых чисел, в данном случае  x= ½ + (½√3) iи  x= ½ −(½√3) i. Эти комбинации названы комплексными числами; первый член ½ в этом примере является обычным «действительным» числом, а второй член ±(½√3) iявляется мнимым. Были созданы специальные правила для проведения вычислений с этими двухкомпонентными действительными числами, но они явились естественным расширением правил, которые мы используем для действительных чисел, и не вызывают особых трудностей.

Действительные числа могут быть, как мы видели, упорядочены в прямую линию. Комплексные числа становятся немного менее таинственными, как только мы понимаем, что каждое из них можно изобразить точкой на плоскости, на которой действительная компонента числа равна расстоянию от начала координат по горизонтальной оси, а мнимая компонента равна расстоянию от начала координат по вертикальной оси (рис. 10.5). Другими словами, комплексные числа на самом деле являются парами чисел: комплексное число 1 + 2 i, например, является просто двухкомпонентным числом (1, 2), которое мы можем представить точкой с координатами 1 см по горизонтальной оси и 2 см по вертикальной оси. Введем другой способ, посредством которого мы можем представить себе комплексное число в виде костяшки домино, с действительной частью числа на левой половине ее прямоугольника и с мнимой частью на правой половине. В будущем, если вы вынете костяшку домино 4 + 3, представляйте себе ее в виде комплексного числа 4 + 3 i. Если вы чувствуете себя дискомфортно среди образов такого рода, не беспокойтесь: комплексные числа, если не считать мимолетных упоминаний, больше не появятся в этой главе.