В этом разделе я обращусь к двум явно наивным вопросам: сколько существует чисел, и что они такое, в конце концов. Можно подозревать, что ответы будут сложнее вопросов, что в итоге, вероятно, и составляет смысл хорошо поставленного вопроса.

На первый взгляд существует бесконечное число натуральных чисел, ибо в принципе мы можем продолжать счет вечно: одна овца, две овцы, …. Мы говорим, что «мощность» натуральных чисел бесконечна. Изобретательный способ демонстрации мощности приписывается немецкому математику Давиду Гильберту, который появится позже в более серьезном контексте, и называется отель Гильберта. «Отель Гильберта» состоит из бесконечного числа комнат, и однажды ночью все комнаты оказываются занятыми. Прибывает путешественник, не заказавший комнату предварительно. «Нет проблем!» — кричит Гильберт (администратор): он уговаривает всех постояльцев переехать в соседнюю комнату, освобождая таким образом первую комнату и получая возможность устроить в ней вновь прибывшего. На следующую ночь подъезжает бесконечное число путешественников, не заказавших комнату предварительно. «Нет проблем!» — снова кричит обладающий неограниченными ресурсами Гильберт. Он уговаривает всехпостояльцев упаковаться и переехать в комнату с номером вдвое большим, чем номер занимаемой ими комнаты, освобождая комнаты с нечетными номерами и получая возможность устроить всех вновь прибывших.

Пока, возможно, все хорошо. Но как насчет рациональных чисел, чисел, получаемых делением одного натурального числа на другое: сколько их существует? «Очевидным» ответом является то, что рациональных чисел больше, чем натуральных, потому что их ужасно много между 0 и 1 (например, 1/4, 1/2, 53/57 и многие другие), столь же много между 1 и 2 (например, 3/2, 5/3, 79/47 и многие другие) и так далее. Забавно, что правильным ответом, однако, будет такой: количество рациональных чисел таково же, как и количество натуральных чисел. Их число бесконечно, столь же бесконечно, как и число натуральных чисел.

Чтобы убедиться в том, что это так, взгляните на рис. 10.6, где я нарисовал таблицу всех рациональных чисел (но показал только малую часть из них). Поверху вправо идут натуральные числа, указывающие числитель дроби, которую мы намереваемся построить, а слева вниз идут натуральные числа, указывающие ее знаменатель. Внутренняя часть таблицы содержит все возможные дроби, получаемые делением одного натурального числа на другое. Здесь будет много повторений, таких как 3/6 и 4/8 оба равны 1/2, но это не имеет значения. Теперь мы можем провести линию, которая пробегает от первой цифры таблицы через все остальные, как показано на рис. 10.6. Затем, продвигаясь вдоль этой линии, будем вести счет 1, 2, … каждой встречающейся дроби. Таким способом все дроби — все рациональные числа — оказываются поставленными во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Мы никогда не выйдем за пределы натуральных чисел, поэтому количество рациональных чисел таково же, как и количество натуральных чисел, несмотря на то, что они расположены плотнее, чем натуральные числа. Существует бесконечное число рациональных чисел между 0 и 1 и между 1 и 2, но их бесконечное число между 1 и 2 такое же! Короче говоря, мы всегда можем пересчитать рациональные числа — мы говорим, что они счетны— и получить ответ «бесконечность» безотносительно к интервалу чисел, на котором производится счет. Возможно, вы начинаете понимать, что бесконечность является расплывающимся и ускользающим понятием.

Алгебраические числа — числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений — тоже являются счетными. Вы можете ухватить идею доказательства этого утверждения, заметив, что каждое алгебраическое уравнение состоит из степеней  x(выражений, подобных x ³), умноженных на целое число (как в 4x ³+ 2x − 1 = 0). Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнений — алгебраическими числами — и целыми числами, определяющими уравнения. Мы можем заключить, что алгебраические числа являются счетными и, хотя их число бесконечно, мощность их такая же, как у натуральных чисел.

А сколько же иррациональных чисел, чисел, которые не могут быть выражены как отношения натуральных чисел? Возможно, вы думаете, что их тоже бесконечное число. Вы, вероятно, правы. Но то, чего вы, вероятно, не знаете (если вы, конечно, не знали ответ заранее), это то, что иррациональные числа более бесконечны, чем натуральные. То есть иррациональные числа имеют большую мощность, чем натуральные числа: их количество более бесконечно. Красивую аргументацию, впервые выявившую эту странную черту, предложил космополит от рождения Георг Фердинанд Людвиг Филлип Кантор (1845-1918), рожденный от датчанина и русской в Санкт-Петербурге, но проживший большую часть жизни в Германии. Его жизнь была полна разочарований, главным образом потому, что он работал на переднем крае современной ему математики и внес в поле рассмотрения бесконечность. Отчасти в результате стресса, создаваемого неприятием его работы со стороны консервативной части математического истеблишмента, в частности, влиятельного Леопольда Кронекера (1823-91), который был предубежден против всех разновидностей чисел, кроме рациональных, Кантор начал страдать серьезным умственным расстройством, все более обращаясь к религии, ибо он считал, что бесконечные множества объектов, которые он рассматривает, существуют как реализованные сущности разума Бога, и что он, Кантор, есть сосуд, избранный для того, чтобы явить их, некто вроде математического Иоанна Крестителя. Между приступами своей навязчивой идеи о том, что автором Шекспира был Бэкон, Кантор проводил все более длительные периоды в психиатрических клиниках, исследуя пограничные области религии, такие как масонство, теософия и учение розенкрейцеров, в точности так же, как он исследовал пограничные области математики, но с меньшим результатом. Определенно рискуют стать безумными те, кто всматривается в бездну бесконечности, что, возможно, начнете понимать и вы по мере развертывания этой главы.

В 1874 г. Кантор обнаружил простой аргумент, показывающий, что иррациональные числа более многочисленны, чем рациональные. Мы будем использовать этот аргумент и его видоизменения в других контекстах, поэтому стоит на нем задержаться. Начнем выписывать список случайно выбранных чисел, лежащих между 0 и 1, и последовательно их пронумеровывать (в левой колонке):

Теперь покажем, что каким бы длинным ни был список, включая бесконечную длину, существуют числа, которых в нем нет. Чтобы проделать это, построим новое число, выбирая первую цифру после десятичной точки в первом числе списка, вторую во втором числе и так далее и записывая в новом числе на соответствующем месте другуюцифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны.