Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении и после занятия обдумываю причину.

А и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию.

Как часто учебные и жизненные задачи (те, которые жизнь задает в виде «проблемных ситуаций») кажутся нам простыми только по недомыслию! Случается это обычно со взрослыми, которым когда-то подсказали одно из возможных решений задачи как единственно правильное (а есть ли другие решения, они не проверяли). Или из-за того, что эти задачи и ситуации стали привычными для нас, взрослых, и мы забыли, как нам было трудно найти решение впервые. Или по иной причине. Так или иначе, давайте выведем из этого наблюдения еще одно золотое правило: задавая малышу задачу, каждый раз будем глядеть на нее глазами ребенка и пробовать решить ее так, будто решаем впервые.

Кстати, это пример того, как благотворно для нас общение с малышом, как оно «вынуждает» нас (помогает нам) вспоминать об источниках и границах наших знаний, освобождаться от шаблонов и привычных заблуждений.

Ведь именно на этом свойстве — что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей — основано координатное представление векторов, то есть тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Четко помню, как когда-то меня, уже взрослого, поразило(как важно, став учителем или родителем, помнить о том, что поражает в детстве!? ВЛ) это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с ее помощью даже дать намек на отрицательные числа (если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус).

Ну а пока на занятии мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх.

Поэтому на следующем занятии мы пишем такие последовательности: ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т. д. — в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П обозначает шаг направо, а буква В — шаг вверх (рисунок 5).

а б а а б

ППВПВ

а а а б б

ВПППВ

Рис. 5

Надо было видеть то волнение, что охватило ребят, когда я показал им эту связь!

Все-таки показал, подсказал, а не только дождался, пока дети откроют связь сами. Без этого не обойтись. У А.Звонкина «показал» случается очень редко. Соотношение между «показал» и «дождался, пока дети откроют сами» определяется чувством меры педагога, индивидуальными особенностями учеников, темой обсуждения. Готовых рецептов здесь нет: общение с ребенком — дело творческое.

Чутье педагога, позволяющее ему успешно решать образовательные задачи, я назвал бы педагогическим вкусом. Формирование такого вкуса, на мой взгляд, главная задача педагогических вузов и колледжей. А так как учебные заведения этой задачи перед собой обычно не ставят, его формирование становится важнейшей задачей педагогического самообразования (в том числе и педагогического самообразования родителей). Они немедленно потребовали разрезать листок, на котором написаны наши пятибуквенные слова, и, отталкивая друг друга, стали прикладывать каждое слово к соответствующей дорожке. Я остаюсь сторонним наблюдателем, однако пытаюсь невзначай подкинуть еще одну мысль.

«Может быть, мы заодно и еще какие-нибудь решения найдем, — говорю я. Одиннадцатое, двенадцатое…» Один лишь Женя откликается на мои слова: «Нет, — говорит он. — Ведь здесь десять и там тоже». — «Но, может быть, они разные? Здесь одни десять решений, а там другие?» К этому моменту, однако, все бумажки уже разложены, и наши надежды не оправдались: обе группы по десять решений в точности соответствуют одна другой, или, как говорят математики, находятся во взаимно однозначном соответствии. Как тем не менее важно хотя бы на мгновение усомниться в результате, чтобы потом ощутить его как результат! Озарение сопровождается радостным воплем

Сейчас, на волне энтузиазма, можно продвинуться чуточку дальше.

«А скажите, ребята, можно было обозначить шаги направо и вверх другими буквами? Не П и В, а другими?» — «Конечно! Какими хочешь можно». — «Ну какими, например?» — «Например, А и Б», — говорит Петя. «Или, например, твердый знак и мягкий знак», — это Дима. «Или, например, — говорю я, — шаг направо обозначить плюс, а шаг вверх — запятой». «О-о-о!» — хохочут мальчики. «Или, — продолжаю я бесстрастным тоном, — шаг направо обозначать черным кружком, а шаг вверх — белым». — «Как это?» — «А вот так».

а б а а б

Рис. 6

l — l - m — l - m

Рис. 7

Я беру один из рисунков, допустим такой (рисунок 6), и соответствующую ему подпись ППВПВ и рисую рядом картинку (рисунок 7). И в наступившей паузе паузе перед взрывом — еще успеваю соединить свои кружочки линиями, придав им окончательное сходство со второй задачей. Узнали! Тут ошибиться нельзя: озарение сопровождается радостным воплем и чуть ли не плясками. На столе все смешивается, и продолжать дальше становится решительно невозможно. Пора кончать занятие. Теперь можно отступить примерно на месяц, отвлечься, позаниматься другими задачами. Пусть идея уляжется, пустит корни. К тому же однотипные задачи могут скоро надоесть (курсив мой.? ВЛ).

Как важно помнить об этом и не спешить закреплять успех! Закрепить успех тактическая задача. Стратегическая — сохранить у ребенка желание учиться, сберечь готовность мыслить самостоятельно, получая от этого интеллектуальное удовольствие.

Грандиозная идея, которая таится за скромным словечком «обозначить»

И вот — финиш. На столе пять коробок и два шарика: нужно класть эти два шарика в две коробки, оставляя остальные три коробки пустыми (рисунок 8). И чтоб не повторяться.

Рис. 8.

Работа начинается бойко, но уже на четвертом или пятом шаге возникает ожесточенный спор, было уже такое решение или нет. Мальчики обращаются ко мне как к арбитру, но я делаю вид, что тоже не помню. Как быть?

Между прочим, далеко не каждый ребенок сообразит, что делать в такой ситуации. Нужно обозначить каким-то значком пустую коробку и каким-то другим — коробку с шариком, а все найденные решения записывать. Но за этим скромным словечком «обозначить» прячется грандиозная идея, родившаяся и выросшая вместе с человеческой цивилизацией. Достаточно вспомнить во многом еще загадочную историю возникновения письма, эволюции пиктограмм в иероглифы, иероглифов — в алфавитное письмо, и т. д. Сколько существует на свете математика, она всегда занималась изобретением и усовершенствованием систем обозначений — сначала для чисел, потом для алгебраических операций, потом для все более и более абстрактных сущностей. Уже в нашем веке учение о знаковых системах осознало себя в качестве самостоятельной науки семиотики.

(Недаром так недоумевают первоклассники, когда им говорят: «Обозначим слог прямоугольником, обозначим гласный звук красным кружочком, твердый согласный — черным кружочком, мягкий — синим кружочком; обозначим неизвестное число буквой х…». Это же так просто, так понятно — для нас с вами: обозначим — и все дела. А дети в тупике.)

Выразительный пример того, о чем говорилось в восьмой сноске («Как часто учебные и жизненные задачи кажутся простыми нам только по недомыслию!»)

Изобретаем письменность: рисунок — пиктограмма — иероглифї

На нашем кружке я всегда пытался не только решать отдельные задачи, но и формулировать, хотя бы для себя, сверхзадачи. Знакомство с семиотической идеей — одна из таких сверхзадач.

Мы не раз обсуждали то, что числа обозначаются цифрами, звуки речи буквами, а, скажем, музыкальные звуки — нотами. Вспомнили и другие системы знаков, например дорожные знаки. И всегда, когда было можно (и полезно), придумывали значки для разных объектов, с которыми оперировали. Так что эта идея для ребят уже не совсем новая.

Вот мальчики и предлагают «рисовать» решения. Поначалу они и в самом деле пытаются делать что-то вроде реалистических рисунков; я бы сказал: находятся на пиктографическом уровне. Но это трудно, и довольно скоро мы переходим на иероглифический уровень: рисунки становятся более абстрактными — теперь пустая коробка обозначается квадратом, а заполненная — квадратом с кружком внутри. Я предлагаю рисовать в последнем случае просто кружок. Очередное препятствие: дети не умеют рисовать аккуратно, и нарисованный ими круг не всегда легко отличить от квадрата. Тогда я делаю еще одно предложение: рисовать круг с крестом. Теперь изображенное выше решение выглядит так: (рисунок 9).