Рис. 9.

«А почему с крестом?» — «А какая разница, как обозначать», — отвечаю я, пытаясь равнодушным пожиманием плеч еще раз намекнуть на относительную самостоятельность знака по отношению к обозначаемому объекту и его (в известных пределах) произвольность.

Минута педагогического триумфа: дети приходят к общематематической идее!

А между тем получившаяся задача в одном отношении сложнее предыдущих. Ведь теперь каждое новое решение нужно сравнивать не с предшествующими решениями, а с их условными обозначениями.

Педагогический успех — награда тому, кто постоянно внимателен и чуток к ребенку. Не знаю, что помогает А.Звонкину так тонко проникать в детскую то ли прекрасная память и самоанализ, то ли способность к перевоплощению в ребенка, то ли интуиция, то ли знакомство с трудами психологов (каждый это делает по- своему). Но именно зоркость к детским интеллектуальным трудностям позволяет взрослому успешно строить радостное и взаимно развивающее общение с детьми.

На этот раз мальчики находят всего девять решений и после нескольких безуспешных попыток приходят к выводу, что больше решений нет.

И вот наступает минута моего триумфа, та, которую я так долго ждал и так упорно готовил. Петя вдруг восклицает, тыча пальцем в лист бумаги: «Ой, смотрите: да это же пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!» Дима вскакивает очень взволнованно: «Да, да, папа, я уже давно хотел тебе это сказать!» «Значит, должно быть еще одно решение», — подхватывает Женя.

— А давайте, — предлагает Дима, — принесем решение той задачи и найдем, чего не хватает.

Ходить, конечно, далеко не приходится. Подобно известному роялю в кустах, конверт с решениями всех предыдущих задач оказался здесь же, на столе. Какую из задач принять за основу? Мальчики предлагают полоски бумаги с кружками, и очень скоро, уже на четвертом шаге, мы нашли недостающее десятое решение.

(Видимо, ни один триумф не обходится без небольшого конфуза. Когда мы раскладывали полосочки с бусами, одна из них случайно перевернулась на 180 градусов. В результате одно из решений пропало, а другое, ему симметричное, оказалось повторенным дважды. Мы едва не запутались.)

То, что произошло сегодня, кажется не крайне важным. Мы не просто решили задачу. Мы решили ее путем сведения к другой, изоморфной ей задаче. Это важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашелся такой материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к тому же так, что они сами до нее додумались!

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели мы разделаться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно десять решений?

В самом деле больше решений не существует или мы их просто не сумели найти? Как доказать, что их всего десять?

Доказательство — это ритуал, принятый в математике?

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже сказал, формообразующее, выделяющее математику из всех других наук. Представление о том, что является доказательством и что не является, менялось на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно на рубеже XX века (увлекательный рассказ об этом можно прочитать в недавно вышедшей книге Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности»).

Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением: почему какие-то абстрактные рассуждения делают для нас то или иное утверждение более убедительным?

Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос: «То, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно, можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С другой стороны, то, что напряжение равно силе тока, умноженной на сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?»

Этот вопрос — редкая попытка проникнуть в суть явлений. Большинство же школьников, я убежден, воспринимают доказательства как некий принятый в математике ритуал. Так полагается, и все. Как тут не вспомнить историю, относящуюся, кажется, к XVIII веку — про человека, который сказал своему учителю: «К чему все эти туманные рассуждения? Вы же дворянин, и я тоже. Дайте честное слово, что теорема верна, — мне этого вполне достаточно».

Смешно, правда? Ну а мы сами — образованные, современные люди, даже научные работники — мы разве не такие?

Где искать точки соприкосновения научной проблемы с миром детства?

Встречали ли вы когда-нибудь в учебниках истории доказательства того, что все описываемые события происходили именно там, именно тогда и именно так, как они описаны (да и вообще имели место)? Нет, никаких даже намеков на доказательства в этих учебниках нет. И вот странное дело — это никак не уменьшает нашего доверия к изложенным фактам. «Честное слово дворянина» — в данном случае автора учебника — оказывается для нас вполне убедительным основанием. Как видим, проблема не так проста, даже если касается взрослых.

А к детям какое это имеет отношение? Вот какое: мне кажется, необходимо осознать проблему в целом, только тогда удастся найти какие-то ключи, какие-то пути и точки соприкосновения этой проблемы с миром детства (курсив мой.?ВЛ).

Важная подсказка методистам и тем родителям, которые хотят понять, чему учить детей, как выбрать учебный материал

В числе первых попыток были задачи из серии «четвертый — лишний» с неоднозначными ответами, о чем я рассказывал в предыдущей статье. В них я обращал внимание детей на важность не только правильного ответа, но и правильного объяснения.

Потом стали появляться задачи на доказательство такого сорта: доказать, что мы видим глазами, а слышим ушами, но не наоборот (доказательство: если закрыть глаза, мы перестанем видеть, а если закрыть уши, перестанем слышать); доказать, что облака ближе к нам, чем солнце (доказательство: облака заслоняют солнце); доказать, что мы думаем головой, а не животом (хорошего решения я так и не смог придумать).

Ну а в нашей комбинаторной задаче что могло бы служить аналогом доказательства? Видимо, только упорядоченный перебор возможностей, то есть такой перебор, при котором мы были бы уверены, что ничего не пропустили. Еще полгода назад мальчики эту идею не восприняли. Может быть, они уже созрели?

Способен ли дошкольник прийти к идее доказательства, если даже не все взрослые владеют ею?

Вернемся к тому обсуждению, рассказ о котором прервали на полуслове. Итак, как же убедиться, что, кроме найденных десяти решений, других нет?

Дима: «Нужно много лет пробовать, и если ничего не найдешь, значит, и нет». Я высказываю естественное возражение: а вдруг все-таки есть? Женя пессимистически заявляет: «Я больше ничего найти не смогу». Петя спрашивает у меня, я действительно сам не знаю, сколько будет решений, или я-то знаю точно, а спрашиваю только для разговора? Признаюсь, что сам я знаю точно. Тогда мальчики вообще перестают понимать, чего мне еще надо.

Тут вдруг Дима произносит какую-то туманную и довольно бессмысленную фразу, в которой, однако, фигурируют слова «самая левая коробочка». Я поскорее интерпретировал эту фразу в нужном мне направлении и стал рассуждать вслух. Возьмем первый шарик и положим в самую левую коробочку. Куда теперь можно положить второй шарик? Во вторую, третью, четвертую и пятую коробочки; всего четыре решения. Теперь первый шарик положим во вторую коробочку. Тогда второй можно положить в четыре оставшиеся: в первую, третью, четвертую и пятую коробочки — еще четыре решения. Теперь положим первый шарик в третью коробочку и т. д. Всего получается пять раз по четыре решения, то есть… двадцать решений! Вот так раз! Мальчики в полном ошеломлении, а я как можно скорее сворачиваю все дела и заканчиваю занятие.