Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви — геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая — числами. Но между ними никогда не существовало полного разрыва — мы видели, как в разных культурах одна ветвь порой развивалась быстрее и активнее, чем другая, в зависимости от конкретных нужд и обстоятельств. Развитие алгебры и ее взаимоотношений с геометрией можно проиллюстрировать с помощью истории решения кубического уравнения, которое сегодня записывается так: ах³ + bx² + сх + d = 0.

Слово «аль-джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического трактата ал-Хорезми «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») (см. Главу 7), именно от него происходит название дисциплины «алгебра».

В книге ал-Хорезми отсутствуют формулы — он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням неизвестных значений он давал названия, такие, как «shay» («вещь») для х, «mal» («богатство») для х² и «ka'b» («куб») для х³. Названия степеней никто не утвердил навечно, и в своей «Книге аббака», написанной в 1202 году (см. Главу 10), Фибоначчи для обозначения степеней использовал как заимствования из арабского языка, так и некоторые собственные изобретения. Мы ведь, например, называем радикал квадратным корнем, а х³ — кубом. «Книга аббака» — очень важная работа, познакомившая Европу с индо-арабскими цифрами: в ней были описаны девять индийских цифр и «zephirum», или ноль.

В тексте ал-Хорезми, написанном в первой половине IX века, решения квадратных уравнений делятся на шесть типов, ограничивая положительными значениями и числовые коэффициенты, и заключительные решения (см. Главу 7). Последние объясняются геометрическими иллюстрациями, которые, по сути, то же самое, что и вавилонское дополнение квадрата (см. Главу 1). В одиннадцатом веке Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хайям Нишапури, более известный как Омар Хайям, открыл метод геометрического решения кубических уравнений: ответы находились на точках пересечения двух конических сечений, — например, решение уравнения х³ + ах = с может быть найдено путем пересечения круга и параболы. Но и в этом случае коэффициенты и решения — только положительные числа. Хайям не нашел общего алгебраического решения кубического уравнения, однако он использовал достаточно сложный метод — применил греческую геометрию в решении алгебраических уравнений. По его словам, «алгебра — это доказанная геометрия». Он надеялся, что простое общее алгебраическое решение кубического уравнения будет найдено его потомками-математиками. К сожалению, «Алгебра» ал-Хайяма была одной из немногих арабских книг, не переведенных на латынь.

Общий алгебраический способ решения кубического уравнения — то есть конечная последовательность алгебраических шагов, ведущих к получению окончательного решения, — был действительно найден, но только в эпоху итальянского Ренессанса, почти 400 лет спустя. Но приблизительные решения были известны и ранее. Например, в 1225 году Фибоначчи издал трактат о решении кубического уравнения, в котором описывал приблизительное решение конкретного случая, но, к сожалению, без описания метода. Рассматривая историю решения кубического уравнения, мы погружаемся в конкурентную борьбу эпохи итальянского Ренессанса. Новые результаты редко издавались, поскольку «придерживание» открытий поднимало репутацию математика в глазах покровителей. Научное общение приняло вид соревнований — математики бросали друг другу вызов, обмениваясь списками вопросов, а победа на таких соревнованиях еще больше укрепляла репутацию ученого и возносила его над другими.

Решение кубического и, конечно, квадратного уравнений впервые было опубликовано Джироламо Кардано (1501–1576) в книге «Великое искусство» (1545). Однако эти решения не были открытием самого Кардано. Впервые решить уравнения удалось Сципиону дель Ферро (1465–1526), профессору математики из Болоньи. Он никогда не публиковал их и завещал своему студенту, Антонио Марии Фиоре. Тот посчитал, что при помощи такого наследства сможет обрести известность и благополучие, и вызвал других математиков на соревнование по решению задач. Однако Фиоре был, похоже, довольно посредственным ученым, полагавшимся лишь на одно тайное оружие. Над решением кубических уравнений работал также математик Никколо Фонтана (1499–1557), более известный как Тарталья, что означает «заика». Прозвище было дано ему из-за дефекта речи, приобретенного в детстве, когда во время нападения на город Брешию его ударили мечом по нижней части лица. В 1535 году Фиоре и Тарталья встретились на соревновании, и вечером 12 февраля Тарталья заявил, что также решил кубическое уравнение. Он выиграл соревнование, решив все задачи Фиоре, в то время как Фиоре не смог решить ни одной задачи Тартальи.