Результаты, полученные Лейбницем, аналогичны тем, которые отказался опубликовать Ньютон. Возникший спор о приоритете в изобретении дифференциального и интегрального исчислений омрачил последние годы жизни обоих ученых. Если говорить о датах публикаций, первое издание «Начал» вышло в 1687 году, уже после статей Лейбница в «Acta eruditorum». Ньютон послал экземпляр «Начал» Лейбницу, полагая, что тот находится в Ганновере. Лейбниц, будучи в Италии, прочитал обзор книги в 1689 году в «Acta eruditorum» и, основываясь на этом обзоре, написал статьи по механике и оптике, в которых, конечно, использовались достижения Ньютона. Многие европейцы приписывали ему открытие дифференциального и интегрального исчислений лишь благодаря успеху его предшествующих статей, опубликованных на континенте. В 1699 году в работе малоизвестного математика, представленной Королевскому обществу, упоминалось, что Лейбниц позаимствовал свои идеи у Ньютона. Последовал жесткий ответ. Лейбниц закусил удила. Он использовал «Acta eruditorum», в то время как Ньютон опирался на поддержку Королевского общества, создавшего целый комитет, чтобы тщательно изучить этот вопрос. В 1705 году в «Acta eruditorum» был опубликован неблагоприятный обзор последней публикации Ньютона, а в 1712 году комитет Королевского общества принял решение, что именно Ньютон был первым изобретателем дифференциального и интегрального исчислений. В 1726 году, после смерти Лейбница, Ньютон удалил из третьего издания «Принципов» все ссылки на Лейбница. Если бы Ньютон открыто и полностью опубликовал свои «Принципы» еще в 1669 году, возможно, неприятных баталий можно было бы избежать. Британцы придерживались ньютоновых флюксий и флюентов вплоть до начала XIX столетия, но в других странах Европы дифференциальное и интегральное исчисления развились в невероятно мощный математический аппарат именно на языке Лейбница.
Ньютон старался избегать публичности, однако в последние годы жизни много занимался общественной деятельностью. В 1696 году его назначили смотрителем Монетного двора. В 1699 году он был повышен в должности. Теперь в его обязанности входило улучшение процесса чеканки и выявление фальшивомонетчиков, которых отправляли на виселицу. В 1701 году Ньютон во второй раз представлял Кембриджский университет в парламенте. А в 1699-м был избран вторым иностранным членом-корреспондентом Французской академии наук — первым был все тот же Лейбниц. В 1703 году Ньютона избрали президентом Королевского общества, и на этой должности он оставался вплоть до самой смерти. В 1705 году королева Анна посвятила его в рыцари. Ньютон похоронен в Вестминстерском аббатстве. Вольтер так сказал о Ньютоне: «Он жил, чтимый своими соотечественниками, и был погребен, как король, облагодетельствовавший своих подданных».
Лейбниц продолжал расширять свои познания в философии, религии и универсальной логике (тем самым предвосхитив Джорджа Буля — см. Главу 17). В 1700 году он помог создать Берлинскую академию наук и собирался сделать это же в Санкт-Петербурге, но эти планы были реализованы только после смерти ученого. В 1714 году казалось, что ему придется жить в Лондоне, потому что герцог Брауншвейгский стал первым представителем Ганноверской династии, восшедшим на английский престол. Но его, человека, оказавшего множество неоценимых услуг в качестве дипломата, историка, адвоката и воспитателя, попросили остаться в библиотеке, исследуя запутанное королевское генеалогическое древо. Возможно, предполагалось, что Ньютону и Лейбницу будет ни к чему встречаться при дворе.
Чтобы закончить этот рассказ на более радостной ноте, следует сообщить, что в 1701 году, в ответ на обращение королевы Пруссии, Лейбниц написал: «Если рассмотреть математику с начала мира до времени сэра Исаака, то, что он сделал, можно смело считать лучшей ее частью». А в письме, написанном Лейбницу в 1676 году, Ньютон говорит, что «метод Лейбница получения сходящихся рядов весьма изящен, и его было бы достаточно для того, чтобы показать гений автора, даже если бы он не написал ничего другого». К счастью, история всегда будет хранить память об этих двух гениях.
Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.
Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к нелепости.
Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений, поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большею уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.
Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем как они исчезают и не после того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отношение зарождающихся количеств есть именно то, с которыми они зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть.
14. Океаны и звезды
Все ранние цивилизации занимались составлением карт. Цели ставились разные — строительство, сбор налогов или подготовка к войне, однако землемер — одна из самых древних профессий, для которой были необходимы математические знания. Одна из статуй, датируемая приблизительно XXIII веком до нашей эры, изображает царя шумерского города-государства Лагаш с планом храма Нингирсу, а также с линейкой и орудием для письма. Это — самый ранний известный пример того, когда для строительства чего бы то ни было используется масштаб. Были найдены карты известного тогда мира, изображенные на вавилонских глиняных табличках, египетском папирусе и китайском шелке. Римляне продолжили греческие традиции картографирования — их трактат о землемерном деле — Corpus agrimensorum — основывается на правилах измерений и рисовании карт в масштабе.
