Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года — в год смерти Галилея. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, а в 1664-м — получил диплом о высшем образовании. В течение последующих двух лет колледж был закрыт из-за чумы, и Ньютон возвратился домой в Линкольншир. Позднее он писал, что именно тогда совершил известные прорывы в науке — открыл уравнение с бесконечным рядом членов, закон всемирного тяготения, а также дифференциальное и интегральное исчисления. Это могло бы показаться чрезмерным упрощением, но в 1669 году он написал работу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», в которой он рассматривал бесконечный полином так же, как конечный, и позднее распространил бином Ньютона на любую рациональную степень. «Анализ…» также содержал первое описание дифференциального и интегрального исчислений, основанных на методе, похожем на метод Ферма, однако в нем использовались большие степени вследствие работы с бесконечными рядами. Именно в этом труде вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, впервые было представлено как задача, обратная нахождению тангенса. В 1671 году Ньютон написал другой труд о том, что он назвал флюентами и флюксиями — переменными, или текущими, величинами (флюент — от лат. fluo, «теку»), и скоростями их изменения. В этой работе он изображал величины х и у как функции времени, а х´ и у´ — как скорости их изменения. Величины, насколько изменяются сами х и у — собственно производные, — были обозначены х´ и у´. Ньютон пришел к этой идее, рассматривая линию как местоположение точки, перемещающейся в пространстве. Время служит в этой системе невидимым хронометром и не появляется в качестве отдельной переменной t. К сожалению, Ньютон держал все рассуждения при себе, показывая коллегам лишь некоторые из своих работ. «Анализ…» не издавалась вплоть до 1711 года, а описание метода вычисления производных появилось на английском языке лишь в 1736 году. Впервые ученый кратко опубликовал свои выводы — в виде нескольких, крайне трудных для понимания пассажей — в «Началах», изданных в 1687 году. В самих «Началах» дифференциальное и интегральное исчисления практически не фигурируют. Ньютон описывал все свои построения в области математической физики, пользуясь терминами геометрии. Его упорный отказ издавать свои работы можно объяснить отвращением к публичным спорам и дрязгам, которые могли за ними последовать. Он уже конфликтовал с Робертом Гуком по вопросам оптики (Ньютон дождался смерти коллеги и лишь затем опубликовал свою «Оптику»). Даже «Начала» никогда не появились бы на свет, если бы не настоятельные требования и финансовая поддержка Эдмунда Галлея. Ньютон хотел лишь одного — чтобы его оставили в покое и не мешали работать. В итоге это привело к самому решительному сражению в его жизни.

В «Началах» есть раздел (это Отдел I Книги I), носящий название «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается». В нем Ньютон дает геометрическую трактовку ключевых идей, касающихся дифференциального и интегрального исчислений. В другом разделе перечисляются некоторые результаты того, что Ньютон назвал «моментом любого происхождения», — теперь мы назвали бы это термином «дифференциал». Это первое публичное упоминание о новом виде исчисления, и неудивительно, что, кроме нескольких математиков, научный мир поначалу не пришел в восторг. Ньютон шел от геометрических доказательств к обобщенным результатам, не приводя алгебраические манипуляции. В тексте он признал, что в таком виде метод легче представлять, но он все еще беспокоится, что доказательство его теории бесконечно малых величин достаточно шатко. Ньютон — не первый ученый, взявшийся за дифференцирование и интегрирование, но именно он впервые создал прочную конструкцию, в которой эти две операции были обратны друг другу. Своими бесконечными рядами он чрезвычайно расширил диапазон функций, с которыми теперь можно было работать.

Давайте внимательно присмотримся к проблеме, за которую взялся Ньютон. Если мы возьмем точку на кривой и пожелаем определить наклон касательной в этой точке, мы можем выбрать вторую точку, близкую к первой, и соединить эти две точки прямой. Мы также можем построить прямоугольный треугольник, в котором эти две точки находятся на концах гипотенузы. Отношение двух других сторон треугольника дает нам наклон линии, соединяющей точки. Если мы представим себе, что вторая точка медленно перемещается в сторону первой, мы сможем увидеть, что по мере того, как наш треугольник становится все меньше и меньше, наклонная линия становится все более похожей на касательную. Если эти две точки встретятся, мы увидим касательную, а треугольник исчезнет, и две стороны, которые давали нам числовое значение угла наклона, будут равны нулю. В таком случае мы имеем соотношение двух нулей, которое и дает нам ответ! На языке Ньютона наше конечное соотношение исчезающе малых величин — реальная величина. Таким образом, прочность метода исчисления была основана на уверенности самого Ньютона, а широкое распространение было обеспечено его широкой применимостью. Однако сомнения относительно правильности основ метода все же сохранялись, и впоследствии ученые возвратились к проблеме вычисления бесконечно больших и бесконечно малых величин. Вскоре после смерти Ньютона философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей работе «Аналитик» яростно напал на дифференциальное и интегральное исчисления, выдвигая на первый план логические проблемы этого метода, о которых математики были отлично осведомлены. Он набросился на теорию Ньютона с яростным религиозным фанатизмом, обвинив математиков в ереси за то, что они верили в «призраки усопших величин».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в Лейпциге, там же он изучал богословие, право, философию и математику. Университет отказал ему в докторской степени по законоведению, потому что ученый был слишком молод — ему было всего двадцать лет, так что защищать диссертацию Лейбниц отправился в Альтдорф-Нюрнберг. После получения степени он отказался от предложения преподавать право и стал советником, историком, библиотекарем и дипломатом на службе у герцога Эрнеста-Августа Брауншвейг-Люнебургского (Ганновер). О нем нередко говорят как о последнем великом универсале, который особенно интересовался логикой и созданием основ всеобщего языка. Возможно, именно поэтому языком счисления, который используется сегодня, мы в значительной степени обязаны Лейбницу. Ему принадлежат термины «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление», равно как запись dy/dx и dx. Дипломатическая должность давала Лейбницу возможность путешествовать. В 1613 году он посетил Лондон, где стал членом Королевского общества. А в 1676 году ученый вернулся туда, чтобы продемонстрировать новую механическую вычислительную машину. Во время этого визита он не был знаком с Ньютоном, но позднее историки науки много спорили о том, мог ли тогда Лейбниц прочитать «Анализ…». Эти два математика много переписывались, обмениваясь мнениями относительно бесконечного ряда.

Хотя исчисление Лейбница также выросло из анализа рядов, его вид был в значительной степени иным: он увлекся суммированием бесконечно малых величин. Будучи в Париже, он поставил задачу вычисления суммы обратных величин треугольных чисел (треугольное число — это число кружков, из которых можно составить равносторонний треугольник). Последовательность треугольных чисел T_n для n = 0, 1, 2… начинается так: 0,1, 3, 6,10,15…, выраженных общей формулой 2/[n(n+1)]. Он очень хитроумно переписал это как разницу между двумя членами, то есть 2 [1/n — 1/(n+1)]. Просто выписав первые несколько элементов ряда, он увидел, что все члены ряда взаимно уничтожаются за исключением первого и последнего. Увеличивая сумму до бесконечного числа элементов, Лейбниц получил ответ 2. Ученый рассмотрел много других рядов и постепенно научился определять, сходится он или расходится. Тогда он понял, что проблема обнаружения касательной к кривой сводится к вычислению отношения разницы в ординатах и абсциссах (значений х и у), в то время когда они становятся бесконечно малыми величинами, и квадратуры зависят от суммы ординат или бесконечно узких прямоугольников, из которых состоит область, располагающаяся под кривой. В случае с числовыми рядами суммы и разности были инверсиями друг друга. То же самое получалось в задачах о касательной и квадратуре. Все это основывается на характеристиках бесконечно малого треугольника, того самого, который Ньютон описал как «соотношение бесконечно малых величин». Ключевая концепция Лейбница заключалась в том, что дифференциал dx — бесконечно малое изменение значения х. Для функции у = ƒ(х) градиент вычисляется как dy/dx, а квадратура — как ∫ydx. Обозначение интеграла может символизировать утверждение, что это сумма прямоугольников со сторонами у и dx. Первые рукописи Лейбница датируются 1675 годом, а после небольшого изменения нотации он издал свои результаты в статьях. Первая вышла в 1684 году, а вторая — в 1686-м, обе напечатали в журнале «Acta eruditorum», соиздателем которого был сам Лейбниц. В них можно найти общеизвестные теоремы дифференциального и интегрального исчислений, включая фундаментальную теорему, что дифференцирование и интегрирование — прямо противоположные процессы. Лейбниц подчеркнул: новое исчисление дает универсальный алгоритм для решения задачи касательной и квадратуры в случае с целым диапазоном функций, включая трансцендентные (термин, придуманный Лейбницем для обозначения функций типа sin х и In х), которые могут быть выражены как бесконечные степенные ряды, но не представляют собой решения алгебраических уравнений.