А³ = (A — d)A(A + d) + d²A,

где d — любое число. Как и при возведении в квадрат двузначных чисел, я стараюсь выбрать такое d, чтобы при его сложении (или вычитании) получить число, как можно более близкое к кратному десяти. Например, при возведении в куб числа 13, d = 3, в результате получается:

13³ = ((13 — 3) х 13 х (13 + 3)) + (3² х 13).

Поскольку 13 х 16 = 13 х 4 х 4 = 52 х 4 = 208 и 9 х 13 = 117, то мы имеем:

13³ = 2080 + 117 = 2197.

Как насчет куба 35? Принимая d = 5, получим:

35³ = (30 х 35 х 40) = (5² х 35).

Так как 30 х 35 х 40 = 30 х 1400 = 42 000 и 35 х 5 х 5 = 175 х 5 = 875, имеем

35³ = 42 000 + 875 = 42 875.

При возведении 49 в куб задаем d = 1 с целью округления этого числа до 50. Тогда

49³ = (48 х 49 х 50) + (12 х 49).

Можно умножить 48 х 49 с помощью метода разложения, но для задач такого типа я предпочитаю метод совместной близости, который будет описан в главе 8. (Можете забежать вперед и взглянуть на него уже сейчас, если хотите!) Используя этот метод, получим 48 х 49 = (50 х 47) + (1 х 2) = 2352.

Умножив это число на 50, получим 117 600 и тогда:

49³ = 117 600 + 49 = 117 649.

Вот задача посложнее. Попробуйте возвести в куб число 92.

92³ = (90 х 92 х 94) + (2² х 92)

Если вы умеете быстро возводить в квадрат двузначные числа, значит, можете вычислить 92 х 94 = 932 — 1 = 8648, либо применить метод совместной близости, следствие которого 92 х 94 = (90 х 96) + (2 х 4) = 8648. Итак, умножим это число на 9 (как описано в начале главы 8) — 9 х (8600 + 48) = 77 400 + 432 = 77 832. Следовательно, 90 х 92 х 94 = 778 320. Далее, поскольку 4 х 92 = 368, прибавим его и получим окончательный ответ:

92³ = 778 320 + 368 = 778 688.

Отметим, что при использовании метода совместной близости для задач на умножение, возникающих при возведении в куб трехзначного числа, малое произведение, которое нужно прибавить (в зависимости от значения d = 1, 2, 3, 4 или 5), будет равно 1 х 2 = 2; 2 х 4 = 8; 3 х 6 = 18; 4 х 8 = 32; 5 х 10 = 50.

Возведем в куб число 96.

96³  = (92 х 96 х 100) + (42 х 96)

Произведение 92 х 96 = 8832 можно посчитать разными способами. Чтобы отпраздновать окончание данной главы, применим некоторые из уже изученных нами методов. Я начну с самого, на мой взгляд, сложного, а закончу самым простым. По методу сложения (90 + 2) х 96 = 8640 + 192 = 8832; по методу вычитания 92 х (100 — 4) = 9200 — 368 = 8832; по методу разложения 92 х 6 х 4 х 4 = 552 х 4 х 4 = 2208 х 4 = 8832; по результатам возведения в квадрат 942 — 22 = 8836 — 4 = 8832; по методу совместной близости с основанием 90: (90 х 98) + (2 х 6) = 8820 + 12 = 8832; и по методу совместной близости с основанием 100: (100 х 88) + (–8 х –4) = 8800 + 32 = 8832.

Произведение 42 х 96 = 1536 тоже можно вычислить несколькими способами, такими как 96 х 4 х 4 = 384 х 4 = 1536 или 16 х (100 — 4) = 1600 — 64 = 1536. И наконец, поскольку 8832 х 100 = 883 200, получаем окончательный ответ:

96³ = 883 200 + 1 536 = 884 736

Деление в уме — чрезвычайно полезный навык как для бизнеса, так и для повседневной жизни. Сколько раз в неделю вы сталкиваетесь с ситуациями, которые требуют от вас что-то равномерно распределить, например счет в ресторане? Точно такой же навык оказывается кстати, когда вы хотите выяснить стоимость одной упаковки корма для собак, или поделить выигрыш во время игры в покер, или узнать, сколько литров бензина можно купить на 20 долларов. Способность делить в уме избавит вас от необходимости постоянно обращаться к калькулятору, когда вам нужно что-либо посчитать.

При выполнении устного деления метод вычисления слева направо вступает в свои права. Именно ему нас учили в школе, так что вы будете заниматься естественным для себя делом. Помню, что, будучи ребенком, думал, будто метод деления слева направо олицетворяет то, какой арифметика должна быть в принципе. Я часто размышлял о том, что если бы в школе нашли способ преподавать и деление справа налево, они, вероятно, так бы и сделали!

Первый шаг при делении в уме — предположить, из скольких цифр будет состоять итоговый ответ. Чтобы понять, что я имею в виду, попробуйте решить вот такую задачу: 179 ? 7

Чтобы разделить 179 на 7, нужно найти такое число Q, которое 7 раз по Q составит 179. Очевидно, что поскольку 179 находится между 7 х 10 = 70 и 7 х 100 = 700, Q должно размещаться между 10 и 100. Стало быть, ответ является двузначным числом. Зная это, сначала определяем наибольшее кратное 10, которое может быть умножено на 7 и в итоге оказаться меньше 179. Нам известно, что 7 х 20 = 140 и 7 х 30 = 210, значит, ответ будет в диапазоне «20 плюс». Отталкиваясь от этого, мы уже можем реально проговорить число «20», так как это будет часть ответа, и она точно не изменится. Далее вычитаем 179–140 = 39. Теперь наша задача сведена к делению 39 х 7. Так как 7 х 5 = 35, что на 4 меньше 39, у нас появилась вторая часть ответа «5» с остатком 4, или, если вы предпочитаете говорить так: 25 и 4/7. Вот как выглядит данный процесс деления[3].

Попробуем решить похожую задачу, используя аналогичные расчеты.

675 ? 8

Как и раньше, если 675 находится между 8 х 10 = 80 и 8 х 100 = 800, то ответ должен быть меньше 100 и выражаться двузначным числом. Чтобы произвести деление, учтем, что 8 х 80 = 640 и 8 х 90 = 720. То есть ответ должен быть в диапазоне 80 «с хвостиком». Но с каким хвостиком? Чтобы это узнать, вычтите 640 из 675 для получения остатка 35. После произнесения вами «80» наша задача сведется к 35 ? 8. Так как 8 х 4 = 32, итоговый ответ будет 84 с остатком 3, или 84 и 3/8.

Схематически данный пример представим так:

Как и большинство устных вычислений, процесс деления можно рассматривать как процесс упрощения. Чем больше числа в первом действии, тем проще становится задача. То, что начиналось как 675 ? 8, было сведено к меньшей задаче 35 ? 8.

Теперь рассмотрим пример, при решении которого получается трехзначное число.

947 ? 4

На этот раз ответ будет содержать три цифры, потому что 947 находится между 4 х 100 = 400 и 4 х 1000 = 4000. Нам следует отыскать наибольшее кратное 100, наиболее близкое к 947.

Поскольку 4 х 200 = 800, то есть «200 плюс», так что вперед, произнесите это! Вычитание 800 из 947 преподносит новую задачу на деление 147 ? 4. Так как 4 х 30 = 120, теперь мы уже можем сказать: «30». После вычитания 120 из 147 вычисляем 27 ? 4 для получения остальной части ответа: 6 с остатком 3.

В совокупности имеем 236 с остатком 3, или 236 и 3/4.