Чтобы перепроверить полученный ответ другим способом, можно использовать метод, известный как сравнение по модулю 11. Он похож на метод сравнения по модулю 9 за исключением того, что здесь вы сокращаете число, поочередно вычитая и прибавляя цифры справа налево, игнорируя десятичную запятую. Если результат отрицательный, к нему надо прибавить одиннадцать. (Вам может показаться заманчивым складывать и вычитать слева направо, как в случае с модульными суммами, но чтобы метод работал, необходимо это делать справа налево.)

Например:

Этот же метод применим и для задач на вычитание:

Точно так же он работает и для задач на умножение:

Если модульные числа не совпадают, значит, где-то допущена ошибка. Но даже если они совпадают, ошибка не исключена. В среднем этот метод распознает ошибку в 10 случаях из 11. Поэтому она имеет шанс пробраться сквозь караул числа одиннадцать (1 к 11) и числа девять (1 к 9), и только с шансом 1 к 99 будет незамеченной при использовании обоих типов проверки. За дополнительной информацией об этих и других очаровательных волшебных приемах предлагаю обратиться к любой из книг Мартина Гарднера по «занимательной математике»[8].

Итак, теперь вы готовы к последней задаче на умножение в этой книге, решаемой с помощью ручки и бумаги: «10 на 10»!

Хотя в ней отсутствует какая-либо практическая ценность, кроме возможности покрасоваться! (Лично мне кажется, что умножение пятизначных чисел уже и так достаточно впечатляющее действо, особенно с тех пор, как их решение перешло в сферу ответственности калькуляторов.) Я представлю здесь этот пример только для того, чтобы доказать: это выполнимо.

Перекрестные умножения следуют тем же базовым схемам, что и при решении задачи «5 на 5». Вам предстоит девятнадцать шагов с вычислениями, а на десятом шаге — целых 10 перекрестных умножений! Поехали!

Вот как это считают:

Если вы сумели договориться с этой невероятно трудной задачей с первого раза, то вы на этапе перехода из разряда подмастерья в категорию мастера математической магии!

_{* Для тех, кто не догадался, сообщаю, что здесь приведены модульные суммы, которые показывают, что вычисления выполнены правильно, так как 5 х 5 = 25 > 7. Прим. ред.}

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ С БУМАГОЙ И РУЧКОЙ

Запоминающаяся глава для запоминания чисел[9]

Наиболее часто мне задают вопрос о моей памяти. Нет, сразу скажу я вам, она у меня не феноменальная. Скорее, я применяю систему мнемотехники, которая может быть изучена любым человеком и описана на следующих страницах. Научные эксперименты показали, что обычный человек со средним интеллектом может освоить их и развить способность запоминать числа.

В этой главе мы расскажем, как улучшить память на числа.

Это не только имеет такие очевидные практические выгоды, как запоминание дат или телефонных номеров, но и позволяет решать в уме большие вычислительные задачи. А в следующей главе мы покажем, как, применяя методы из этой главы, умножать в уме пятизначные числа!

Метод, который здесь представлен, — это пример мнемоники, то есть инструмента для улучшения памяти в процессе запоминания и извлечение данных. Мнемоника работает путем преобразования непонятных данных (например, последовательностей цифр) в нечто более подходящее. Попробуйте найти минутку для того, чтобы запомнить следующую фразу:

My turtle Pancho will, my love, pick up my new mover, Ginger.

(«Моя черепаха Панчо, моя любовь, забрать мой новый двигатель, имбирь».)

Прочитайте ее несколько раз. Не перелистывайте следующие страницы, чтобы увидеть, как выглядит черепаха Панчо или узнать, кто забрал мой новый двигатель и что означает имбирь. Просто запомните эту фразу. Запомнили?

Поздравляю! Вы только что запомнили первые двадцать четыре цифры математического выражения числа ? (пи). Напомню: число ? — это отношение длины окружности к ее диаметру и, как учили в школе, приблизительно равно 3,14, или 22/7. На самом деле ? иррациональное число (в нем цифры после запятой продолжаются бесконечно без повторяющихся последовательностей цифр). Современные компьютеры рассчитали для ? миллиарды знаков после запятой.

Я уверен, что вам интересно, как фраза, которую вы запомнили, преобразуется в 24 знака числа ?.

Чтобы узнать это, в первую очередь необходимо запомнить фонетический код, представленный ниже, где каждой цифре от 0 до 9 назначается соответствующий звук.

Запомнить этот код не так сложно, как кажется. С одной стороны, заметьте, что в тех случаях, когда одной цифре соответствует более одной буквы, эти буквы имеют похожее произношение. С другой — вы можете положиться на следующие подсказки, которые помогут вам запомнить код.