В работе 1923 г. Брауэр привел примеры теорем, которые нельзя считать доказанными, если отрицать применение закона исключенного третьего к бесконечным множествам. {121}В частности, не доказана ни теорема Больцано — Вейерштрасса, утверждающая, что каждое ограниченное бесконечное множество имеет предельную точку, ни теорема о существовании максимума непрерывной функции на замкнутом отрезке. Отвергнутой оказалась и лемма Гейне — Бореля, согласно которой из любого множества отрезков, покрывающих отрезок (взятый вместе с его концами) можно выделить конечную подсистему отрезков, также покрывающих этот отрезок. Разумеется, следствия из всех этих теорем интуиционисты также не считают приемлемыми.

Однако интуиционисты не только отказались от неограниченного использования закона исключенного третьего для доказательства существования математических объектов, но и выдвинули еще одно требование. Они сочли неприемлемым задавать множество свойством, присущим всем его элементам (например, множество, задаваемое признаком «красный», присущим всем элементам этого множества). По мнению интуиционистов, математическому рассмотрению подлежат только конструктивные понятия и объекты, только о них имеет смысл утверждать, что они существуют. Иначе говоря, необходимо указывать метод, позволяющий построить объект или объекты за конечное число шагов (или вычислить с любой требуемой степенью точности). {122}Так, число π, с точки зрения интуиционистов, вполне приемлемо, так как возможно выписать любое число верных знаков его десятичной записи. Если бы нам удалось доказать, что при некотором n > 2существуют целые числа x, yи z,удовлетворяющие уравнению x ⁿ+ y ⁿ= z ⁿ(т.е. доказать великую теорему Ферма), но мы не могли бы при этом указать конкретные значения чисел n, x, yи z, то интуиционист не принял бы такого доказательства. {123}С другой стороны, определение простого числа конструктивно, так как можно указать метод, позволяющий за конечное число шагов установить, является ли то или иное число простым.

Рассмотрим еще один пример. Числами-близнецами называют простые числа вида l − 2и l, например 5 и 7, 11 и 13. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар чисел-близнецов. Пусть теперь  l— наибольшее простое число, такое, что l − 2также простое число, если этому нашему определению отвечает какое-то значение  lили же l = 1, если l, описываемое первым условием, не существует. Классицист сочтет число  lвполне определенным независимо от того, известно или не известно, что последняя пара чисел-близнецов существует, так как по закону исключенного третьего такая пара чисел либо имеется, либо нет, — и, значит,  lопределено либо первым, либо вторым ( l = 1) способом. То, что реально мы не в состоянии вычислить l, для неинтуиционистов несущественно. Интуиционист же будет считать приведенное выше «определение» числа  lлишенным смысла до тех пор, пока число  lнельзя будет вычислить, т.е. пока не будет решена проблема конечности или бесконечности числа пар чисел-близнецов. Требование конструктивности относится, в частности, и к определению бесконечных множеств. Бесконечные множества, построенные с помощью аксиомы выбора, неприемлемы с точки зрения интуиционистов. Как показывают приведенные выше примеры, некоторые из доказательств существования неконструктивны. Следовательно, их необходимо отвергнуть не только потому, что в них может использоваться закон исключенного третьего, но и по другой причине.

По выражению Германа Вейля, неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище использовать. Такие доказательства не могут заменить построение — подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия «доказательство». Вейль указал, что приверженцы философии интуиционизма вынуждены отказаться от наиболее важных теорем существования классического анализа. Канторовскую иерархию трансфинитных чисел Вейль считал очень запутанной. Классический анализ, писал Вейль в книге «Континуум» (1918), — это дом, построенный на песке. Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами.

Отрицание закона исключенного третьего приводит к возможности появления новых типов неразрешимых высказываний. В бесконечных множествах, как утверждают интуиционисты, возможна третья ситуация: могут существовать высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Интуиционисты приводили пример такого высказывания. Пусть, по определению, число kхарактеризуется условием, согласно которому k-e положение в десятичном разложении числа πзанимает первый нуль, такой, что за ним по порядку следуют цифры от 1 до 9. По логике Аристотеля, kлибо существует, либо не существует, и математики, следуя Аристотелю, исходили в своих рассуждениях лишь из этих двух возможностей. Брауэр и интуиционисты отвергли все рассуждения подобного типа на том основании, что неизвестно, удастся ли нам вообще когда-либо доказать, существует ли число kили не существует. Иначе говоря, по мнению интуиционистов, существуют вполне осмысленные и важные математические проблемы, которые могут оказаться неразрешимыми, какое бы обоснование мы ни подводили под математику . {124}Эти вопросы могут казаться нам разрешимыми только потому, что они касаются понятий и проблем, сходных с теми, которые нам уже приходилось решать в прошлом.

С точки зрения интуиционистов неприемлемы классическое и логическое (аксиоматическое) построения системы вещественных чисел, математический анализ, современная теория функций вещественного переменного, интеграл Лебега и многие другие понятия и теории. Брауэр и его сторонники не ограничивались критикой и пытались построить математику на конструктивной основе. Им удалось спасти некоторые разделы перечисленных выше теорий, но конструктивные варианты отличались такой сложностью, что даже разделявший философию интуиционизма Вейль сетовал по поводу невыносимой громоздкости конструктивных доказательств. Среди прочего интуиционистам удалось перестроить на конструктивной основе элементарные разделы алгебры и геометрии.

Тем не менее перестройка происходила чрезвычайно медленно. И в 1927 г. в статье «Обоснования математики» ([50], с. 365-388; ср. также [50], с. 389-399) Гильберт с полным правом заявил: «Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами по сравнению с могущественным размахом современной математики!» ([50], с. 383). Разумеется, в 1927 г. интуиционистам, по их же собственным меркам, не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко в осуществлении своей программы перестройки классической математики. К сожалению, интуиционисты, как и логицисты, не смогли прийти к единому мнению относительно того, на какой основе производить эту перестройку. Одни считали необходимым исключить все общие теоретико-множественные понятия и ограничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Менее экстремистскую позицию занимали конструктивисты, не ставившие под сомнение классическую логику, а стремившиеся как можно полнее использовать ее. {125}Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные методы. Немало было и тех, кто допускал по крайней мере тот или иной класс вещественных чисел (не охватывавший весь континуум вещественных чисел). Другие допускали лишь целые числа, а из остальных чисел и функций признавали лишь вычислимые. При этом различные группы понимали вычислимость по-разному. Например, число считалось вычислимым, если к нему можно было приближаться со все возрастающей точностью (эффективно определяя точность приближения!), используя допустимые числа из некоторого множества, по аналогии с тем, как к обычным иррациональным числам можно все более точно приближаться с помощью конечных десятичных дробей.