К сожалению, понятие «конструктивность» отнюдь не является ни четким, ни однозначным. Рассмотрим число N,определенное следующим образом:

На время положим p = 3. Тогда N = 1 − 0,001 = 0,999. С другой стороны, если  p = 2, то N = 1,01.Пусть теперь p— первый знак в десятичном разложении числа π, следующий после группы цифр 123456789, идущих друг за другом именно в этом порядке; если же такое pвообще не существует, то положим, что N,по определению, равно 1. Если число pсуществует и четно, то N = 1,000…(на p-м месте после запятой стоит 1). Если число p нечетно, то N = 0,999…( pдевяток после запятой). Однако мы не знаем, существует ли определенное выше число p.Если оно не существует, то N = 1.Если же pсуществует, но не встречается, например, среди первой тысячи знаков десятичного разложения числа π, то мы не можем даже начать выписывать N.Тем не менее Nопределено, и его даже можно записать с любойстепенью точности. Но разве определение Nконструктивно?

Разумеется, доказательства существования, использующие аксиому выбора или гипотезу континуума, не конструктивны; они неприемлемы не только для интуиционистов, но и для многих математиков, не разделяющих идей интуиционистов.

Хотя разные группы интуиционистов и конструктивистов в чем-то расходились между собой, им все же удалось перестроить значительную часть классической математики. Некоторые из перестроенных на конструктивной основе теоремы оказались более узкими, чем их неконструктивные прототипы. Когда интуиционистам указывали на это, они отвечали, что классический анализ при всей своей несомненной полезности по математической истинности уступает конструктивному анализу. Резюмируя, можно сказать, что конструктивистам удалось добиться лишь весьма ограниченных успехов и что перспективы распространить конструктивистский подход на всю современную математику нельзя считать обнадеживающими. Имея в виду медленный прогресс конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки, о которой у нас пойдет речь в дальнейшем, заметили: «Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику» ([68], с. 53). {126}Критики интуиционизма вполне могли бы процитировать четверостишие Сэмуэля Хоффенштейна:

Чтобы гарантировать надежность оснований математики, интуиционисты готовы даже пожертвовать какими-то разделами классической математики и не считают слишком высокой ценой отказ от «рая» канторовской теории трансфинитных чисел.

Хотя противники интуиционизма иногда излишне бесцеремонно и догматически требовали отказа от интуиционистской философии, критические замечания в адрес интуиционизма высказывали и сочувствующие ему люди — и к этим замечаниям нельзя не отнестись серьезно. В частности, одно из критических замечаний состояло в том, что теоремы, которые интуиционисты столь лихорадочно стремились перестроить в соответствии со своими принципами, не были подсказаны интуицией и вряд ли подкреплялись ею. Открытию этих теорем в равной мере способствовали все известные математические методы, всевозможные рассуждения, догадки, обобщения частных случаев и внезапные, не поддающиеся рациональному объяснению озарения. Следовательно, на практике интуиционисты не менее других зависят от обычных методов, принятых в математике, и даже от классической логики, хотя и пытаются реконструировать доказательства в соответствии со своими принципами. В ответ на подобное замечание интуиционисты могли бы возразить, что когда новые результаты устанавливаются традиционными методами, сами результаты вполне могут оказаться интуитивно приемлемыми. Не отрицая важности других утверждений интуиционизма, нельзя не отметить, что многие теоремы, даже приемлемые для интуиционистов, содержат столь тонкие и далекие от интуиции утверждения, что трудно представить, как может человеческий разум непосредственно воспринимать их истинность.

Тезис о важной роли обычных приемов математического творчества, а также идеализации и абстракции выдвинули Феликс Клейн и Мориц Паш. Разве интуиция могла бы открыть непрерывную (нигде не дифференцируемую) функцию {127}или кривую, покрывающую квадрат (кривую Пеано)? Такого рода «патологические» математические объекты, даже если их существование подсказано интуицией, подлежат «очищению», которое производится путем идеализации и абстракции. По выражению Клейна, примитивная интуиция не точна, а утонченная интуиция вообще не является интуицией, а возникает в результате логического вывода из аксиом. В ответ на требование полагаться на надежность логического вывода из аксиом Брауэр возразил, что непротиворечивость системы аксиом доказывается с помощью интерпретаций или моделей (гл. VIII), относительно которых должно быть известно, что они непротиворечивы. Всегда ли мы, справедливо заметил Брауэр, располагаем такими моделями, и не полагаемся ли мы на интуицию, объявляя их непротиворечивыми?

Вейль также оспаривал утверждение о том, что традиционные способы построения новых математических объектов и доказательства якобы обладают большей силой по сравнению с конструктивными. В книге «Разум и природа» (1934) он писал: «Приятно утешать себя надеждой, что сознанию откроются истины более глубокие по своей природе, чем те, которые доступны непосредственно интуиции».

Некоторые из противников интуиционизма, вполне признавая, что математика — это творение человека, тем не менее считали, что правильность или неправильность может быть установлена объективно, тогда как интуиционисты ставили решение этих вопросов в зависимость от человеческого разума, склонного заблуждаться. В этом, как писали Гильберт и Пауль Бернайс (1888-1978) в первом издании своего труда [75] по основаниям математики, мы усматриваем легко уязвимое место интуиционистский философии. На какие понятия и рассуждения мы можем положиться, если правильность понимается как очевидность для человеческого разума? Где же истина, объективно существующая для всех людей?

Другое критическое замечание в адрес интуиционизма состояло в том, что он совсем не касается вопросов о приложимости математики к исследованию природы. Интуиционизм не связывает математику с восприятием. Брауэр признавал, что интуиционистская математика бесполезна для практических приложений. Более того, Брауэр отрицал господство человека над природой. Несмотря на всевозможные критические замечания в адрес интуиционизма, Вейль заявил в 1951 г.: «Думаю, что всякому, кто хотел бы по-прежнему верить в истинность математических утверждений, в истинность, основанную на опыте, придется принять критику, которой подверг основания математики Брауэр».

Доктрины интуиционизма затронули и еще один вопрос, тесно связанный с их основными установками. Как мы уже знаем, интуиционисты утверждали, что здравые и приемлемые идеи могут восприниматься и воспринимаются человеческим разумом. Эти идеи не рождаются в словесной форме. Язык не более чем несовершенное устройство для передачи идей. Вопрос, породивший долгие споры и обсуждения, состоял в следующем: могут ли мысли существовать в бессловесной форме? С одной стороны, в Евангелии от Иоанна говорится: «В начале было Слово». Хотя св. Иоанн, разумеется, не имел в виду математику, процитированное высказывание согласуется с позицией древнегреческих философов и взглядами некоторых современных психологов. С другой стороны, епископ Беркли считал, что слова — это помеха для мышления.