Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда, ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции, которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности, вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции (функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то, о чем идет речь.

Примечание 3

Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины

Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть в настоящем примечании.

Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить, что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного различия между собой. Но в применении к пространственным предметам аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость, значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д., чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом, требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того, как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. - Если для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д. Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как сумма малых плоскостей - плоскостью.

Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам, а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12 линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину. Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины, но изменение ее как качественного определения пространственности, как измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении (скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3 : t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.