Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению, это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию] параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате] плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это последнее определенное количество называется численностью только лишь в сравнении с представлением о бесконечно многих линиях; оно вообще есть определенность величины чего-то непрерывного - высоты. Ясно, что то, что называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного на линейное, согласно вышеуказанному определению - возникновение плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном примере трапеции лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной; поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический, т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же момент здесь - умножение, качественная сторона перехода от линейного измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно последнему есть линейная величина.
Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий, применяется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы ординат, т. е. площади.
Те, кто при этом хочет избежать представления о плоскости как сумме линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь] уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух линейных элементов площади. Другой элемент площади - ось абсцисс принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего момента. Чтобы представить плоскость, требуются два измерения; но определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической определенности.
Данные здесь пояснения служат также критерием упомянутого выше метода неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти неделимые суть для Кавальери линии, когда он рассматривает площади или квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т. д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей, следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур; следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически; линейное - это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна быть постигнута ее определенность.
Это заставляет нас поразмыслите о различии [в мнениях] относительно того, в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она внешняя граница. Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы; например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II, prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.
