Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?

После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:

— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно.[5] Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.

— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.

1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.

Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.

2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.

3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.

То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.

4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. При этом нам уже известно, как найти такое число У — надо взять У = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х = 232723, У = 32723.

5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: Х = 32А2ВЗ, У = 2В32А2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет Х = 327283, У = 28327283.)

6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)

Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.

7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве У; тогда число X порождает М(АУ), а число У (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим М = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.

8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно Х = М322ВМЗ. Положим теперь У=2ВХ. Тогда X порождает М(У), а У порождает ВХ. Для конкретного частного случая примем М = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: Х = 33227833, У = 27833227833.

9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через У число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(АУ), а У порождает N(X).

б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через У число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: Х = М32А2ВЗ, У = 2ВМ32А2ВЗ.)

в) Если число X порождает М(У), а У = 2Х, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим Х = М322МЗ, У = 2М322МЗ.

г) Если X порождает М(АУ), а У = 2Х, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим Х = М32А2МЗ и У = 2М32А2МЗ.

10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(У). Пусть теперь Z = P2X, тогда y = N2Z; при этом число У порождает N(Z), а число Z порождает Р(Х). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3,

Y = N2P2M32N2P2M3,

Z = P2M32N2P2M3.

Для частного случая это решение имеет вид: Х = 432523243, У = 5232432523243, Z = 32432523243.

Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение У, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.

Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число У порождает B(Z), а число Z порождает С(Х). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.