Таким образом, если мы находим число, которое юлжно порождать само себя в последней числовой машине Мак-Каллоха, то это число должно оказаться кодовым номером некой комбинации, родственной самой себе, причем эта комбинация будет открывать замок.

Но как же нам найти такое число N, которое, порождало бы само себя в нашей последней машине? Прежде всего будем искать некоторое число Н, такое, чтобы для любых чисел X и У, если число X порождает число У, число НХ порождало бы число Y2Y2. Если мы сумеем найти это число Н, тогда при любом У число Н2 У2 будет порождать число У2 У2 (потому что, согласно правилу MI, число 2У2 порождает число У), а значит, число Н2Н2 будет порождать число Н2Н2; тем самым мы получим искомое число N. Но как найти число Н?

Эта задача сводится к следующей: как, исходя из заданного числа У и последовательно применяя операции, которые способна выполнять наша машина, получить число У2У2? Так вот, построить число У2У2 из числа У можно следующим способом: сначала построить обращение числа У, получив число У; затем слева от «у» приписать цифру 2, получив тем самым число 2У; далее построить обращение числа 2Т, получив число У2; наконец, построить повторение числа У2, получив число У2 У2. Эти операции обозначаются соответственно операционными числами 4, 6, 4 и 5, поэтому в качестве Н мы выберем число 5464.

Давайте проверим, подходит ли нам найденное число Н. Пусть число X порождает число У; тогда мы должны выяснить, действительно ли число 5464Н порождает число У2У2. Но поскольку X порождает У, то число 4Х порождает число У (в соответствии с правилом MIII); значит, число 64Х порождает число 2V (в соответствии с правилом МII). Отсюда следует, что число 464Х порождает число У2 (в соответствии с правилом MIII), и, стало быть, число 5464Х порождает число У2У2 (в соответствии с правилом MIV). Итак, мы получили, что если X порождает У, то число НХ в самом деле порождает число Y2Y2.

Теперь, когда число Я найдено, выберем число N равным Н2Н2, в результате мы получим число 5464254642, которое порождает само себя. (Читатель может легко убедиться в этом самостоятельно.)

Но раз число 5464254642 порождает само себя, то, значит, это и есть кодовый номер той комбинации, которая открывает замок сейфа. Ясно, что указанная комбинация имеет вид RVLVQRVLVQ.

Конечно, задачу о сейфе из Монте-Карло можно решить и не преобразовывая ее в задачу для числовой машины, однако я привел здесь это решение по двум причинам. Во-первых, именно так решал во времени эту задачу сам Крейг, а во-вторых, я подумал, что читателю будет интересно увидеть, как две математические задачи могут иметь разное содержание, но одну и ту же абстрактную форму.

Для того чтобы непосредственно убедиться в том, что комбинация RVLVQRVLVQ является родственной по отношению к самой себе (а значит, и открывает замок), будем рассуждать следующим образом. Комбинация QRVLVQ родственна по отношению к комбинации RVLV (согласно свойству Q), поэтому комбинация VQRVLVQ будет родственной по отношению к обращению комбинации RVLV (согласно свойству V), то есть к комбинации VLVR. Значит, комбинация LVQRVLVQ родственна по отношению к комбинации QVLVR (согласно свойству L), и, следовательно, комбинация VLVQRVLVQ оказывается родственной по отношению к обращению комбинации QVLVR, то есть комбинации RVLVQ. Тогда (согласно свойству R) комбинация RVLVQRVLVQ будет родственной по отношению к повторению комбинации RVLVQ, то есть к комбинации RVLVQRVLVQ. Итак, комбинация RVLVQRVLVQ действительно является родственной самой себе.

Через несколько месяцев после того, как была с блеском разрешена загадка банковского сейфа в Монте-Карло, Крейг и Мак-Каллох наконец-то навестили Фергюссона — их очень заинтересовала его логическая машина. Разговор скоро зашел о сущности доказуемости.

— Я расскажу вам интересную и весьма поучительную историю, — сказал Фергюссон. — На экзамене по геометрии одного студента попросили доказать теорему Пифагора. Он сдал свою работу преподавателю, но тот возвратил ее с пометкой: «Это не доказательство!» Молодой человек пошел к преподавателю и сказал: «Сэр, как вы можете утверждать, будто то, что я вам сдал, — не доказательство? За весь курс лекций вы ни разу не дали нам определения доказательства. Вы давали нам строгие определения таких геометрических понятий, как треугольник, квадрат, окружность, параллельность, перпендикулярность и т. д., однако никогда не привели нам точного определения того, что же вы называете доказательством. Как же теперь вы можете так уверенно заявлять, будто мое доказательство — вовсе не доказательство? Как вы можете доказать, что оно не является доказательством?»

— Блестяще! — воскликнул Крейг, захлопав в ладоши. — Этот юноша далеко пойдет. А что же ответил преподаватель?

— К сожалению, — усмехнулся Фергюссон, — преподаватель оказался сухим педантом без чувства юмора и воображения. Он снизил студенту оценку за непочтительность.

— Очень жаль, — с досадой сказал Крейг. — Окажись я на месте преподавателя, непременно поставил бы этому студенту высший балл.

— Разумеется, — согласился Фергюссон, — я бы поступил точно так же. Но вы же прекрасно знаете, как часто преподаватели, лишенные творческого начала, побаиваются способных студентов.

— Должен признаться, — сказал Мак-Каллох, — что на месте этого преподавателя я бы тоже не смог ответить на вопрос студента. Разумеется, я похвалил мы его за толково поставленный вопрос, но ответить на него я бы все-таки не смог. В самом деле, что такое доказательство? Когда я сталкиваюсь с правильным доказательством, я почему-то всегда понимаю, что оно правильно; когда мне попадаются слабые аргументы, я обычно могу их указать. Но если бы меня попросили дать строгое определение доказательства, я тоже оказался бы в весьма затруднительном положении.

— Точно так же, как и почти все работающие математики, — поддержал Мак-Каллоха Фергюссон. — В девяносто девяти процентах случаев они вполне могут распознать правильность доказательства или указать на слабые места в неправильном доказательстве, однако не и состоянии привести точное определение доказательства. Нас же, логиков, интересует прежде всего анализ самого понятия «доказательство» — ведь мы хотим определить его так же строго, как и любое другое математическое понятие.

— Но раз большинство математиков все же понимают, что такое доказательство, хотя и не могут дать его четкого определения, то так ли уж важно искать его? — заметил Крейг.

— Важно, и по нескольким причинам, — ответил Фергюссон. — Но даже не будь этих причин, я все равно котел бы знать это определение ради самого определения. В истории математики часто случалось, что какие-то основные понятия, например понятие непрерывности, интуитивно понимались и осваивались еще задолго до того, как для них было введено строгое определение. Однако, получив четкое определение, данное понятие как бы переходит в новую категорию. Становится возможным установить связанные с ним факты, которые было бы очень трудно или вовсе невозможно открыть, не зная совершенно четко объема этого понятия. В этом смысле не является исключением и понятие «доказательство». Так, иногда случается, что в доказательстве используется какой-нибудь новый принцип — например аксиома выбора — и при этом часто возникает сомнение, является ли применение этого принципа законным. Так вот, строгое определение понятия «доказательство» позволяет точно указать, какие математические принципы можно использовать, а какие нельзя.

С другой стороны, особенно важно иметь точное определение доказательства тогда, когда нужно увидить, что данное математическое утверждение недоказуемо в той или иной системе аксиом. Данная ситуация очень похожа на положение дел с построением при помощи циркуля и линейки в евклидовой геометрии: там, для того чтобы показать, что некое построение (например, трисекция угла, квадратура круга или удвоение куба[6]) невозможно, требуется обычно более критическое определение понятия «построение», чем для того, чтобы показать, например, что то или иное геометрическое построение с помощью циркуля и линейки действительно возможно. То же самое происходит и с доказуемостью: чтобы продемонстрировать, что данное утверждение недоказуемо в некоторой исходной системе аксиом, требуется гораздо более строгое и критическое определение самого понятия «доказательство», чем для получения соответствующего положительного результата, а именно что данное утверждение в самом деле является доказуемым при принятии той или иной аксиомы.