Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x⁰. Конечно, это не x⁰: для любого положительного числа выражение x⁰ определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x⁰, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию x^? со сколь угодно малым ? и оставаться там уже навсегда.[39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,001, и x^0,000001, и x^0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x)¹⁰⁰ рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,1, и x^0,0001, и x^0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функции ln x. Каждая из функций (ln x)², (ln x)³, (ln x)⁴, …, (ln x)¹⁰⁰, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ?, график функции (ln x)^N в конце концов поднырнет под график функции x^? и останется там, внизу.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln x)^N растут быстро — и даже очень быстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3 отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x^0,3, x^0,2, x^0,1 и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x = 7,9414?10³⁹⁵⁹, прежде чем (ln x)¹⁰⁰ опустится ниже, чем x^0,3; и однако же это случится.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e — на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква n указывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию e по всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов

,  и т.д. Для четных N результат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда N равно двум, ряд сходится к ?²/6, как уже было сказано; когда N равно 4, ряд сходится к ?⁴/90; когда N равно 6, ряд сходится к ?⁶/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N. В более поздней публикации он сам добрался до N = 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862?²⁶/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если N нечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей относительно замкнутого выражения (если таковое вообще существует) ни для

, ни для аналогичного ряда при других нечетных показателях степени. Никто не смог найти замкнутое выражение для этих рядов. Мы знаем, что они сходятся, и можем, конечно, методом грубой силы вычислить их значение с любой требуемой точностью. Мы просто не знаем, что они означают. Только в 1978 году было доказано, что ряд  определяет иррациональное число.[40]

Итак, к середине XVIII века немало математиков задумывались над бесконечным рядом из выражения (5.1). Точные значения — замкнутый вид — были известны для всех четных чисел N, тогда как для нечетных можно было получать приближенные значения, беря сумму достаточного числа членов. Не будем забывать, что, когда N равно 1, соответствующий ряд становится просто гармоническим рядом, который расходится. В таблице 5.1 приведены значения выражения (5.1) (которое, напомним, есть

) с точностью до 12 знаков после запятой.

N	Значение выражения (5.1)
1	(нет значения)
2	1,644934066848
3	1,202056903159
4	1,082323233711
5	1,036927755143
6	1,017343061984

Эта таблица похожа на один из тех «мгновенных снимков» некоторой функции, которые мы рассматривали в главе 3.iv. Так примерно дело и обстоит. Вспомним утверждение Гипотезы Римана, приведенное во вступлении.

Таблица 5.1 дает нам первое представление о дзета-функции Римана и тем самым представляет собой первый шаг к пониманию Гипотезы Римана.

Коль скоро в предшествующих разделах данной главы мы потрудились придать смысл степенной функции x^a для любого числа a, а не просто для целых чисел, сейчас нет причины ограничивать букву N в выражении (5.1) целыми числами. Можно представить себе, как это число свободно парит, принимая различные значения — дробные, отрицательные и иррациональные. Нет, правда, гарантии, что ряд будет сходиться для всех чисел — как мы уже знаем из главы 1.iii, он не сходится при N = 1. Но можно, по крайней мере, попытать счастья, исследуя разные возможности.