Не слишком неожиданным поэтому был выбор руководства университета в пользу Римана как второго преемника Гаусса. 30 июля 1859 года он получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование, и — видимо, как признание за ним необходимости содержания двух оставшихся в живых сестер — апартаменты Гаусса в обсерватории. Скоро последовали и другие знаки отличия. Первый — 11 августа, когда он был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Риман вернулся в Берлин спустя немногим более 10 лет после того, как уехал оттуда, но вернулся со скромной коллекцией венков на своем челе и был встречен с почетом теми, чьи имена составляли славу немецкой математики: Куммером, Кронеккером, Вейерштрассом, Борхардом.
Венцом триумфа Римана стало представление им на суд академии своей работы «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ее первой фразе он благодарит двух людей, к этому моменту уже покойных, помощь которых (хотя и предоставившаяся намного более охотно со стороны Дирихле, чем со стороны Гаусса) позволила ему покорить высоты. Во второй фразе он демонстрирует Золотой Ключ. В третьей присваивает имя дзета-функции. Первые три предложения работы Римана 1859 года в действительности таковы:
За внимание, которое Академия выказала в мой адрес, приняв меня в качестве одного из своих членов-корреспондентов, более всего, как мне представляется, я мог бы высказать благодарность, незамедлительно воспользовавшись таким образом полученными мною привилегиями представить сообщение об исследовании частоты появления простых чисел; несмотря на длительный интерес к этому предмету со стороны и Гаусса, и Дирихле, сообщение по этому поводу представляется не лишенным некоторого интереса.
В качестве отправной точки моего исследования я исхожу из наблюдения Эйлера о выражении произведения
где p — все простые, a n — все целые числа. Функцию комплексной переменной s, которая задается каждым из этих выражений, коль скоро они сходятся, я обозначу как ?(s).
Гипотеза Римана, появляющаяся на четвертой странице той работы, утверждает некий факт о дзета-функции. Чтобы продвинуться в понимании Гипотезы, нам предстоит теперь более серьезно углубиться в устройство дзета-функции.
Глава 9. Расширение области определения
Итак, мы начинаем приближаться к Гипотезе Римана. Просто чтобы освежить память, сформулируем ее еще раз:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.
И мы уже знаем, что такое дзета-функция! Если s — некоторое число, большее единицы, то дзета-функция определяется таким выражением (9.1):
или же, несколько более изысканным образом,
где слагаемые бесконечного ряда отвечают всем положительным целым числам. Мы видели, что если к этой сумме применить процедуру, напоминающую решето Эратосфена, то ее можно переписать как
то есть
где множители в бесконечном произведении отвечают всем простым числам.
Таким образом, получаем
что я и назвал Золотым Ключом.
Пока все прекрасно, но что это там говорилось насчет нетривиальных нулей? Что такое нуль функции? Что представляют собой нули дзета-функции? И когда они нетривиальны? Не переживайте, сейчас все будет!
Позабудем на время о дзета-функции. Рассмотрим бесконечную сумму совсем другого типа:
Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если x равно 1/2,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1 из главы 1.iv, поскольку (1/2)2 = 1/4, (1/2)3 = 1/8 и т.д. Следовательно, S(1/2) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (?1/2)2 = 1/4, (?1/2)3 = ?1/8 и т.д., а следовательно, S(?1/2) = 2/3 согласно выражению 1.2 из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3 говорит нам, что S(1/3) = 11/2 выражение 1.4 — что S(?1/3) = 13/4. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.
Однако если x равен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При x равном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда x равен ?1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x = ?2 еще хуже: сумма 1 ? 2 + 4 ? 8 + 16 ? … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.
Короче говоря, функция S(x) имеет значения, только когда x лежит в границах между ?1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x) для аргументов x между ?1 и 1.
| x | S(x) |
|---|---|
| ?1 или меньше | (нет значений) |
| ?0,5 | 0,6666… |
| ?0,333… | 0,75 |
| 0 | 1 |
| 0,333… | 1,5 |
| 0,5 | 2 |
| 1 или больше | (нет значений) |
Таблица 9.1. Значения функции S(x) = 1 + x + x2 + x3 + ….
Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от ?1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определения этой функции заключена строго между ?1 и 1.
Рисунок 9.1. Функция S(x) = 1 + x + x2 + x3 + ….
Но смотрите, нашу сумму
