А ведь мы едва начали нашу деятельность по перемножению бесконечного числа скобок. Следующий шаг состоит в том, чтобы перебрать все возможные способы выбрать три не-единицы (при всех остальных единицах). Например, 1?
где каждое число в третьей строке есть произведение трех различных простых.
В предположении, что мы продолжаем так поступать, а также в предположении, что получающиеся члены можно переставлять, как мы пожелаем, выражение (15.1) превращается в следующее (15.4):
Натуральные числа в правой части — это… что? Это заведомо не все натуральные числа: 4, 8, 9 и 12 там отсутствуют. Но и не простые: присутствующие там 6, 10, 14 и 15 не являются простыми. Если оглянуться на процесс перемножения этого бесконечного количества скобок, то станет ясно, что ответ такой: каждое натуральное число, которое равно произведению нечетного числа (включая 1) различных простых, взятое со знаком минус, и, кроме того, каждое натуральное число, которое равно произведению четного числа различных простых, взятое со знаком плюс. Отсутствуют такие числа, как 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, … — т.е. числа, которые делятся на квадрат некоторого простого.
Поприветствуем функцию Мебиуса! Она названа по имени немецкого математика и астронома Августа Фердинанда Мебиуса (1790–1868).[137]
Рисунок 15.4. Лента Мебиуса и муравей на ней.
В наше время ее общепринято обозначать греческой буквой ?, что произносится как «мю» — греческий эквивалент буквы «м».[138] Приведем полное определение функции Мебиуса.
• Ее область определения есть N, то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….
• ?(1) = 1.
• ?(n) = 0, если среди делителей числа n есть квадрат.
• ?(n) = ?1, если число n простое или является произведением нечетного числа различных простых чисел.
• ?(n) = 1, если число n является произведением четного числа различных простых чисел.
Такое определение функции может показаться вам страшно громоздким. Однако функция Мебиуса приносит колоссальную пользу в теории чисел и далее в этой книге будет играть ведущую роль. В качестве примера приносимой ею пользы заметим, что все трудоемкие алгебраические действия, через которые нам пришлось продираться, сводятся к изящному выражению (15.5):
B истории Гипотезы Римана наряду с самой функцией ?(n) не меньшую роль играет ее нарастающее значение, т.е. результат сложения ?(1) + ?(2) + ?(3) + … + ?(k) для некоторого числа k. Так определяется «функция Мертенса» М(k). Ее первые 10 значений (т.е. значения при k = 1, 2, 3, …, 10) равны 1, 0, ?1, ?1, ?2, ?1, ?2, ?2, ?2, ?1. Функция M(k) весьма нерегулярна — она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения в стиле, который математики называют «случайными блужданиями». Для аргументов, равных 1000, 2000, …, 10 000, ее значения равны 2, 5, ?6, ?9, 2, 0, ?25, ?1, 1, ?23. Для аргументов миллион, 2 миллиона, …, 10 миллионов ее значения равны 212, ?247, 107, 192, ?709, 257, ?184, ?189, ?340, 1037. Если не обращать внимания на знаки, то видно, что величина функции M(k) возрастает, но помимо этого никакой ясной картины не просматривается.
Из выражения (15.5) видно, что поведение функций ? и M (накапливающейся ?) жестко привязано к дзета-функции, а тем самым и к Гипотезе Римана. На самом деле если вам удастся доказать приведенную ниже теорему 15.1, то вы сможете заключить, что Гипотеза Римана верна!
M(k) = ?(k1/2).
Однако если теорема 15.1 не верна, то отсюда еще не следует, что не верна Гипотеза. Математики говорят, что теорема 15.1 сильнее Гипотезы.[139] Слегка ослабленный вариант, сформулированный как теорема 15.2, в точности равносилен Гипотезе:
M(k) = ?(k1/2+?) для любого сколь угодно малого числа ?.
Если теорема 15.2 верна, то верна и Гипотеза; а если она не верна, то не верна и Гипотеза. Это в точности эквивалентные теоремы. Мы еще вернемся к этому в главе 20.vi.
Глава 16. Вверх по критической прямой
В 1930 году Давиду Гильберту исполнилось 68 лет. В соответствии с принятыми в Геттингенском университете правилами он вышел на пенсию. Посыпались почести. Среди них — решение властей Кенигсберга предоставить прославленному сыну этого города почетное гражданство. Церемония должна была состояться на открытии запланированного на осень того года съезда Общества немецких ученых и врачей. Понятно, что случай обязывал к ответному слову. Таким образом, 8 сентября 1930 года в Кенигсберге Гильберт выступил со своей второй великой публичной речью.
Его выступление было озаглавлено «Логика и познание природы». Цель Гильберта состояла в том, чтобы высказать некоторые положения о связи между нашим внутренним миром — нашими умственными процессами, включая и те, с помощью которых мы создаем и доказываем математические истины, — и физической вселенной. Подобные идеи, разумеется, имеют долгую философскую родословную, особую роль в которой сыграл другой великий сын Кенигсберга — живший в XVIII веке философ Иммануил Кант. По существу, как мы увидим в главе 20, Гильберт высказал идеи, имеющие отношение к современному пониманию Гипотезы Римана. Впрочем, во время выступления Гильберта в Кенигсберге никто этого, конечно, не знал.
Было предусмотрено, что после окончания выступления Гильберт повторит его сокращенный вариант по местному радио — в те времена, понятно, бывшему новинкой. Этот сокращенный вариант речи Гильберта был записан и издан на граммофонной пластинке (78 оборотов в минуту). (В Веймарской Германии, похоже, слова «математик-знаменитость» не содержали в себе внутреннего противоречия). В наши дни эту запись можно найти в Интернете. Сделав лишь небольшое усилие, вы услышите, как голос самого Гильберта произносит шесть слов, за которые его более всего помнят и которые выгравированы на его надгробии на Геттингенском кладбище. Это последние слова кенигсбергской речи.
Гильберт твердо верил в неограниченную мощь человеческого разума в постижении истин и природы, и математики. Во времена его юности определенной популярностью пользовались пессимистические теории французского философа Эмиля Дюбуа-Реймона. Дюбуа-Реймон утверждал, что определенные вещи — например, природа материи и человеческого сознания — в принципе непознаваемы.[140] Ему принадлежит тезис ignoramus et ignorabimus — «мы не знаем и не узнаем». Гильберту никогда не импонировала эта мрачная философия. И теперь, когда весь мир (во всяком случае, вся его научно-математическая часть) внимал его словам, он ясно заявил о своем несогласии:
137
Мебиуса более всего помнят за ленту (лист) Мебиуса, показанную на рисунке 15.4, которую сам он придумал в 1858 г. (Ранее она была описана другим математиком, Йоханом Листингом, также в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие, а Мебиус — нет, так что, согласно академическим правилам, ее следовало бы называть «лентой Листинга». Мир устроен несправедливо.) Чтобы сделать ленту Мебиуса, надо взять полоску бумаги за концы (один конец в правой руке, другой — в левой), перекрутить один из них на 180 градусов и склеить их друг с другом. Получится односторонняя поверхность — муравей может переползти из любой точки на полосе в любую другую точку, не перелезая при этом через край.
138
Если вам кажется, что выбор буквы, указывающей на свое собственное имя, было проявлением тщеславия со стороны Мебиуса, то сообщу вам, что сам Мебиус при первом описании своей функции в 1832 г. не использовал буквы ?; виновник появления ? — Франц Мертенс, который ввел ее в 1874 г., причем в честь Мебиуса, к тому времени уже скончавшегося, а не в свою.
139
Если подразумеваемая здесь логика от вас ускользает, давайте рассмотрим аналогию. Представим себе, что теорема 15.1 утверждает: «Все люди имеют рост менее 10 футов», а Гипотеза Римана утверждает, что «все граждане США имеют рост менее 10 футов». Если первое утверждение верно, то должно быть верно и второе, поскольку каждый гражданин США — человек. Более слабый результат следует из более сильного. Если человека ростом в 11 футов обнаружат в дебрях Новой Гвинеи, то его существование продемонстрирует ложность теоремы 15.1. Однако Гипотеза Римана будет по-прежнему оставаться открытой, поскольку найденный гигант не является гражданином США. (Хотя, как я подозреваю, довольно быстро им станет.)
140
Утверждение тем более примечательное, что Дюбуа-Реймон (не столько француз, сколько немец швейцарского происхождения) был также признанным физиологом, установившим ряд закономерностей, характеризующих электрические явления в мышцах и нервах. (Примеч. перев.)
