Интуитивно кажется, что если автомобиль спрятан за одной из дверей, то вероятность его найти равна 1/3, и смена двери ничего не даст. Однако это неверно.
Принцип прост: если игрок изначально правильно указал дверь с автомобилем (а вероятность этого действительно ⅓), то замена двери приведет его к проигрышу.
Однако в обеих других случаях изначального выбора неверной двери (а вероятность этого ⅔) смена двери приведет к выигрышу. Таким образом, смена двери приведет к выигрышу с вероятностью ⅔ вместо ⅓.
Парадокс дней рождений
Допустим, в организации работает 24 человека. Какова вероятность что хотя бы двое отмечают день рождения в один и тот же день? Интуитивно кажется, что эта вероятность весьма мала и будет равна 24/365, но и в этом случае интуиция ошибается. В реальности, мы должны рассматривать количество пар, которые могут образовать данные люди. Это число довольно-таки велико, например, если обозначить 5 человек как ABCDE, то количество возможных пар будет 10 (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE), а для группы из 24 человек возможно 276 пар.
Для точного расчета воспользуемся принципом произведения вероятностей. Вероятность того, что для 2х людей день рождения не совпадет, равна 364/365. Для 3х человек вероятность что все дни не совпадут, равна произведению 364/365 * 363/365, и так далее. Для n-человек формула приведена в Википедии:
(n! — обозначение факториала, n! = 1 * 2* .. * (n - 1) * n)
Нужная нам вероятность обратного события равна обратной величине:
Вывести все значения несложно с помощью программы на Python:
import math
def C(n):
return 1000 – 1000 * math.factorial(365) / (math.factorial(365 – n) * 365**n)
for n in range(3, 50):
print("{} - {}%").format(n, 0.1 * C(n))365! это очень большое число, поэтому здесь использованы целочисленные вычисления языка Python, уже затем значение было переведено в проценты.
В результате получаем следующую таблицу:
| 3 | 0.0082 | 4 | 0.0163 | 5 | 0.0271 |
| 6 | 0.0404 | 7 | 0.0562 | 8 | 0.0743 |
| 9 | 0.0946 | 10 | 0.1169 | 11 | 0.1411 |
| 12 | 0.1670 | 13 | 0.1944 | 14 | 0.2231 |
| 15 | 0.2529 | 16 | 0.2836 | 17 | 0.3150 |
| 18 | 0.3469 | 19 | 0.3791 | 20 | 0.4114 |
| 21 | 0.4436 | 22 | 0.4756 | 23 | 0.5072 |
| 24 | 0.5383 | 25 | 0.5686 | 26 | 0.5982 |
| 27 | 0.6268 | 28 | 0.6544 | 29 | 0.6809 |
| 30 | 0.7063 | 31 | 0.7304 | 32 | 0.7533 |
| 33 | 0.7749 | 34 | 0.7953 | 35 | 0.8143 |
| 36 | 0.8321 | 37 | 0.8487 | 38 | 0.8640 |
| 39 | 0.8782 | 40 | 0.8912 | 41 | 0.9031 |
| 42 | 0.9140 | 43 | 0.9239 | 44 | 0.9328 |
| 45 | 0.9409 | 46 | 0.9482 | 47 | 0.9547 |
| 48 | 0.9605 | 49 | 0.9657 | 50 | 0.9703 |
Как видно из таблицы, уже при количестве сотрудников 50 человек, хотя бы 1 день рождения почти гарантированно совпадет (вероятность 97%), а для 24 человек получаем вероятность равную 0.538, т. е. более 50%.
13. Поверхность Луны
Посмотрим на фотографию поверхности Луны. Эта фотография была сделана в телескоп с балкона:
Что мы видим? Очевидно, лунную поверхность, покрытую кратерами, оставшимися от предыдущих столкновений метеоритов с Луной.
Казалось бы, причем здесь математика? При том, что столкновение с метеоритом — случайное событие, его частота подчиняется теории вероятности. На Луне нет атмосферы, нет эрозии и ветра, поэтому лунная поверхность — идеальная «книга», в которой записаны события последних десятков тысяч лет. Изучая поверхность Луны, можно подсчитать какого размера объекты падали на ее поверхность.
Исследование поверхности Луны камерами высокого разрешения ведется и сейчас. Было подсчитано, что за последние 7 лет на Луне образовались не менее 220 новых кратеров. Это важно еще и потому, что данные подсчеты помогут оценить опасность для Земли.
Есть ли кратеры на Земле? Разумеется есть. Данная фотография сделана вовсе не на Луне или на Марсе, а в США:
Так называемый Аризонский кратер возник около 50 тыс. лет назад после падения метеорита диаметром 50 метром и весом 300 тысяч тонн. Диаметр кратера составляет более километра. В Сибири находится кратер Попигай размером 100 км, он был открыт в 1946 году.
Разумеется, такие большие кратеры довольно-таки редки. Последнее же падение крупного метеорита было по историческим меркам весьма недавно, всего лишь около 100 лет назад. В 1908 г. в тунгусской тайге упал метеорит, мощность взрыва оценивалась от 10 до 50 мегатонн. По отзывам, взрывная волна обогнула земной шар, а световые явления в атмосфере были столь сильны, что в Лондоне ночью можно было читать газету. Лишь по случайности падение метеорита пришлось на малонаселенные районы Сибири — если бы удар был чуть раньше или позже, такой мощности хватило бы, чтобы полностью уничтожить город размером с Санкт-Петербург. Совсем же недавно, в 2013 году, метеорит размером около 20 метров разрушился в атмосфере, а его многочисленные обломки упали в районе Челябинска. Пострадало примерно 1500 человек, в основном от выбитых ударной волной стекол. По оценкам NASA суммарная мощность составила до 400 килотонн.
