Существует и другая теорема, называемая теоремой Ферма-Эйлера, открытая в 1640 году, которая говорит о том, что если простое число имеет вид 4 * k + 1, то оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Так, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4 * 111097227 + 1. И действительно, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197 * 19197 + 8710*8710. Теорема была доказана Эйлером лишь через 100 лет.

И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, не превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже готов выплатить награду в один миллион долларов США.

Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И. М. Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 2⁶¹ - 1 = 2305843009213693951. Даже сейчас компьютеру с запущенной вышеприведенной программой требуется несколько минут на проверку данного числа, а на то время это была поистине гигантская работа.

Кстати интересно, что существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно. Такой пример описывается в книге известного врача-психолога Оливера Сакса «Человек, который принял жену за шляпу». По некоторым предположениям, такие люди обладают способностью «видеть» числовые ряды визуально, и пользуются методом «решета Эратосфена» для определения, является ли число простым или нет.

Еще одна интересная гипотеза была выдвинута Ферма, который предположил, что все числа вида

являются простыми. Эти числа называются «числами Ферма». Однако, это оказалось верным только для 5 первых чисел: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537. В 1732 году Эйлер опроверг гипотезу, найдя разложение на множители для F₅: F₅ = 641·6700417.

Существуют ли другие простые числа Ферма, пока неизвестно до сих пор. Такие числа растут очень быстро (для примера, F₇ = 340282366920938463463374607431768211457), и их проверка является непростой задачей даже для современных компьютеров.

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов. Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть — «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.

К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, то «закрытым ключом» будет 444388979, а открыто будут передано произведение 197481533549433911 (444388979 * 444388909). Лишь зная вторую половинку, можно вычислить недостающее число и расшифровать им текст.

В чем хитрость? А в том, что произведение двух простых чисел вычислить несложно, а вот обратной операции не существует — если не знать первой части, то такая процедура может быть выполнена лишь перебором. И если взять действительно большие простые числа (например, в 2000 символов длиной), то декодирование их произведения займет несколько лет даже на современном компьютере (к тому времени сообщение станет давно неактуальным). Гениальность данной схемы в том, что в самом алгоритме нет ничего секретного — он открыт и все данные лежат на поверхности (и алгоритм, и таблицы больших простых чисел известны). Сам шифр вместе с открытым ключом можно передавать как угодно, в любом открытом виде. Но не зная секретной части ключа, которую выбрал отправитель, зашифрованный текст мы не получим. Для примера можно сказать, что описание алгоритма RSA было напечатано в журнале в 1977 году, там же был приведен пример шифра. Лишь в 1993 году при помощи распределенных вычислений на компьютерах 600 добровольцев, был получен правильный ответ.

В завершение темы простых чисел, приведем вид так называемой «спирали Улама». Математик Станислав Улам открыл ее случайно в 1963 году, рисуя во время скучного доклада на бумаге числовую спираль и отмечая на ней простые числа:

Как оказалось, простые числа образуют вполне повторяющиеся узоры из диагональных линий. В более высоком разрешении изображение выглядит так (картинка с сайта http://ulamspiral.com):

В общем, можно предположить что далеко не все тайны простых чисел раскрыты и до сих пор.

Еще одно удивительное свойство мира чисел было доказано еще Евклидом: если число вида 2^p - 1 является простым (уже известное нам число Мерсенна), то число 2^P-1(2^p - 1) является совершенным, т. е. равно сумме всех его делителей.

Рассмотрим пример для p = 13:

2¹³ - 1 = 8191. Как показывает приведенная ранее программа, 8191 — действительно простое число.

2¹² * (2¹³ - 1) = 33550336.

Чтобы найти все делители числа и их сумму, напишем небольшую программу:

Действительно, 33550336 делится на числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168. И сумма этих чисел равна искомому 33550336.

Совершенные числа встречаются довольно-таки редко, их последовательность согласно Википедии, образует вид: