— А сколько у гиперкуба плоских граней?

— Двадцать четыре: шесть граней у куба в исходном положении, еще шесть — у куба в конечном положении, и каждое из двенадцати ребер при движении также заметает по одной грани. Вот всего и набирается двадцать четыре грани.

— Ты перечислил все элементы гиперкуба?

— Нет, самое главное впереди. Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела. Разумеется, представить себе наглядно, как это происходит, мы не в состоянии.

— Трехмерные существа также не в силах представить себе такую картину.

— Мы вполне могли бы продолжить наши рассуждения, — заметил мой сын, — и заставить гиперкуб перемещаться вдоль пятого направления, но какое тело при этом получится, представить себе даже мысленно довольно трудно.

— Почему? — возразил я. — Мы получим пятимерное тело, обладающее весьма правильным строением, с тридцатью двумя вершинами, восемьюдесятью ребрами, восемьюдесятью плоскими, сорока кубическими и десятью гиперкубическими гранями. Правда, я не могу не согласиться с тем, что чем дальше, тем сложнее будут получаться гипертела.

Мы оба замолчали и погрузились в размышления. Я был горд своим сыном, который так хорошо разбирался в многомерной геометрии — отрасли науки, которой занимались многие члены нашего семейства. Занятие многомерной геометрией стало своего рода семенной традицией в честь нашего великого предка, замечательного Квадрата.

Мой сын первым нарушил молчание:

— В настоящее время мы не можем ответить на вопрос, является ли все это чистой гипотезой, игрой разума, или третье измерение действительно существует. Посетила ли моего прадеда Сфера или весь рассказ о ее визите от начала до конца был плодом его фантазии?

Тогда мы еще не знали, что ответ на этот вопрос будет дан очень скоро.

Часы пробили полночь, и великий миг, которого каждый год ожидают с нетерпением, настал. Может быть, вам покажется странным, что моя семья в новогоднюю ночь не собралась в тесном кругу у очага. Дело в том, что мои домочадцы, следуя примеру детей, решили лечь спать пораньше. Поэтому мы сдвинули торжество на несколько часов и уже успели отпраздновать встречу Нового года. По обычаю, мы отведали окружности на масле — блюдо, считавшееся большим лакомством у детей, которое с удовольствием ели и взрослые. Затем я рассказал сказку, так что, по нашему мнению, встреча Нового года прошла вполне удачно. Что же касается детей, то для них это был настоящий праздник.

Разумеется, мы, взрослые, могли бы собраться в полночь еще раз, но заранее условились не делать этого. Ведь момент, когда Новый год сменяет старый, выбран совершенно произвольно и зависит лишь от принятого у нас способа измерения времени и нашего летосчисления. Никаких перемен для того, чтобы выделять этот момент времени среди других или приписывать ему особое значение, в природе не существует.

Итак, по известным теперь вам причинам мои домочадцы разошлись из-за стола, а я остался, чтобы посидеть у очага и побеседовать со своим старшим сыном о третьем измерении. И тут это случилось. Я хочу сказать, что мне вдруг послышался какой-то странный звук, шорох или тихое гудение. Откуда он доносился, я не мог никак понять и вопросительно посмотрел на сына.

— Тебе что-нибудь послышалось? — сказал он.

— Да, но что это? — спросил я.

— Трудно сказать. Не понимаю, откуда доносится звук.

— Я тоже, — пришлось признаться мне.

Звук стал явственнее и быстро смолк. Между мной и сыном появилась какая-то точка, которая начала быстро увеличиваться в размерах. Нет, это была не точка, а растущая на глазах окружность. Спустя какое-то время она стала уменьшаться, сначала медленно, а затем всё быстрее и быстрее. Наконец она стянулась в точку и исчезла совсем.

Мы с сыном смотрели друг на друга, потрясенные, но не испуганные.

— Это была Сфера, — промолвил сын.

— Думаю, что так, — согласился я.

— Значит, все-таки… — начал было он, но не закончил.

— Да! — сказал я. — Существование Трехмерия — не гипотеза, а реальность. Мои дед действительно познакомился с реально существующей Сферой.

До нас донесся таинственный голос:

— Я возвращаюсь. Я — Сфера, только что прошедшая насквозь вашу плоскость. Смотрите! Сейчас я пройду сквозь нее еще раз в обратном направлении.

И действительно, мы снова увидели точку. Она стала расти и увеличиваться в своих размерах до тех пор, пока не превратилась в окружность — наибольшее сечение Сферы нашим двумерным миром.

Какое-то мгновение мы молчали. Но тут я подумал, что мне необходимо приветствовать высокого гостя, и сказал:

— Добро пожаловать, ваше превосходительство, в наш мир двух измерений.

— Здравствуйте! — ответила Сфера. — С Новым годом, с новым счастьем!

— Спасибо, желаем и вам того же! — поблагодарил я.

— Вы внук того самого Квадрата, с которым мне довелось познакомиться прежде? — поинтересовался мой гость.

— Да, того самого! — ответил я, весьма польщенный. — Не могу не выразить свое восхищение умом вашего превосходительства: вы сумели отыскать меня среди многих тысяч Шестиугольников, обитающих в нашем мире.

— Да, это было не просто. Пришлось даже заняться подслушиванием разговоров между флатландцами. Из них я поняла, что у вас теперь к третьему измерению относятся совсем иначе, чем прежде. Из него не делают больше тайны. Наоборот, нынче каждый рассуждает о третьем измерении, хотя ничего в нем не смыслит.

— Это вы верно изволили заметить, — согласился я. — Теперь, так же как и во время вашего прежнего визита, вы могли бы показаться публике, но с одним весьма существенным различием: ныне вас провозгласили бы героем!

— Вполне возможно, — сказала Сфера, — но я еще не решила, как мне быть. Кроме того, для подобной демонстрации время еще не настало; ведь с тех пор, как я нанесла свой последний визит во Флатландию, еще не минуло тысячи лет.

— Да, это так, — подтвердил я и добавил: — А что привело вас сейчас в наш мир? Мы весьма рады вашему визиту и очень ценим ваше внимание.

— Мой нынешний визит объясняется чрезвычайно просто: я почувствовала непреодолимую потребность побывать еще раз во Флатландии. В прошлый раз я выполняла приказ свыше. Мне было поручено нанести официальный визит в Двумерие, чтобы показать вам, флатландцам, ограниченность вашего мира.

— А на этот раз? — спросил я.

— На этот раз мне хотелось бы сделать все, что не удалось выполнить во время моего прошлого визита. Я несколько постарела. Мы, Сферы, живем у себя в Трехмерии гораздо дольше, чем обитатели Флатландии, но мне не суждено дожить до следующего века. С каждым днем я дряхлею, а у меня на душе лежит некий груз, поэтому я и решила нанести свой визит вам, именно вам, а не кому-нибудь другому.

— Вы можете рассказать нам лишь то, что сочтете необходимым, — успокоил я своего гостя.

— Если вы хотите поговорить с отцом с глазу на глаз, то я могу выйти, — вмешался в разговор мой сын.

— Вы мне ничуть не мешаете, — последовал невозмутимый ответ, — у меня нет от вас секретов. Можете остаться и слушать. Из вашего разговора я поняла, во-первых, что судьба столкнула меня с потомками того самого Квадрата, которому я в свое время открыла чудеса Трехмерия, и, во-вторых, что вы оба придаете немаловажное значение проблемам геометрии. Поэтому я надеюсь, что вы со вниманием выслушаете мои признания и с сочувствием отнесетесь к рассказу о происшедших со мной событиях.

— Мой сын и я выслушаем вас с величайшим удовольствием, — заверил я высокого гостя.

— Коль скоро вы читали книгу, написанную вашим дедом и прадедом (кстати сказать, она была издана и у нас, в Трехмерии, где ее прочитал каждый, кто интересуется свойствами пространства), то, должно быть, помните, — начала Сфера свой рассказ, — что сначала я пыталась доказать вашему предку, Квадрату, существование третьего измерения при помощи некоторых наглядных демонстрации, но затем, видя, что мне никак не удается полностью убедить его, я захватила Квадрата с собой в Трехмерие, откуда он смог взглянуть на свой собственный мир.