— Мне иногда кажется, что вы нарочно несете несусветную чушь, — сказал король. — Звук следовал бы вдоль нашего мира… А как ему еще следовать? Вы называете это «распространением вдоль кривой». Какая нелепость! Просто невероятно! Кроме того, я не понимаю, что означает слово «кривая». Любой мальчишка в Лайнландии объяснит вам, как происходит распространение звука в действительности.

— Звук в вашем мире распространяется не по кратчайшему пути, — попытался объяснить я. — Точнее говоря, путь, по которому он распространяется, является кратчайшим из возможных в вашем мире, но действительно кратчайший путь лежит за пределами вашего мира.

— Я снова вас не понимаю, — заявил король.

— А между тем это просто, — возразил я, — но не могу же я требовать от вас, чтобы вы поняли то, что не. можете себе представить. Не думаю, чтобы вы могли почерпнуть многое у меня, но я узнал от вас чрезвычайно много полезного.

— Вот уж чего никогда бы не сказал, судя по тому, что вы говорите, — не остался в долгу король.

— Вам этого не понять, — произнес я и исчез, или, лучше сказать, Циркульландия расплылась и скрылась во мраке ночи.

Я проснулся. Привидевшаяся мне во сне страна не давала покоя. Она была искривлена в направлении, которое обитатели одномерного мира не могли воспринимать, поскольку оно проходило перпендикулярно их миру.

Не так ли обстоит дело и с нашим двумерным миром? Может быть, стороны треугольников, которые кажутся нам прямыми, искривлены в третьем, не видимом для нас направлении? Такое искривление можно представить себе лишь мысленно, поскольку увидеть его своими глазами нам, флатландцам, не дано. Вот если бы попасть в третье измерение! Единственная возможность убедиться в искривленности треугольников — спросить об этом у Сферы, когда та навестит нас в следующий раз.

Я решил непременно это сделать.

Я еле дождался следующей встречи с доктором Пункто. Разумеется, он сразу понял причину моего хорошего настроения и спросил:

— Вам удалось найти решение?

— Нет, — ответил я, — кричать «Эврика!» еще рано, но я убежден, что мне удалось вплотную приблизиться к источнику наших затруднений. Странное явление, состоящее в том, что сумма углов треугольника больше 180°, можно, как я полагаю, объяснить, приняв следующее предложение. Стороны треугольника искривлены, но их кривизна незаметна. Подчеркиваю, незаметна для нас. Стороны треугольника искривлены в направлении, перпендикулярном нашему миру. Трехмерное существо может без труда это заметить. Нам, обитателям двумерного мира, сие не дано.

Затем я рассказал доктору Пункто о том, как во сне увидел Лайнландию, изогнутую в форме окружности, и как тамошний король не мог понять, что его мир искривлен.

— Вот если бы нам удалось разузнать об истинном положении вещей у какого-нибудь обитателя трехмерного мира, — мечтательно произнес доктор Пункто.

Это замечание навело меня на мысль пригласить моего друга к себе на встречу Нового года, где мы можем рассчитывать на свидание со Сферой.

Я посоветовался с женой, она не только не возражала, но и горячо одобрила мой план. Ведь встреча Нового года — праздник, который принято проводить в кругу семьи, предаваясь размышлениям о семейных радостях и невзгодах. Почему бы нам не пригласить на него нашего нового друга, чтобы не чувствовать себя духовными париями, изгнанными из научных кругов?

Старый год подходил к концу. Последние его недели показались мне месяцами, последние дни — неделями, но наконец наступил предновогодний вечер. Вся моя большая семья была в сборе: моя жена и я, дети и внуки. Пришел к нам и доктор Пункто. Его спокойная, уравновешенная натура, присущая ему непринужденная манера общения покорили всех, и мы чувствовали себя так, словно наша семья пополнилась еще одним членом.

Вечер прошел очень оживленно. Разумеется, я рассказал сказку, затем мы отведали окружностей, испеченных на масле. Время подошло к двенадцати, и мы принялись с нетерпением ожидать, когда пожалует Сфера. Для нашего гостя было непривычно созерцать ее появление: крохотная окружность раздувается, разрастается и наконец достигает максимальных размеров.

После обычного обмена приветствиями я позволил себе подчеркнуть, что нынешний визит Сферы мы ожидали с особым волнением, поскольку доктор Пункто и я столкнулись с важными проблемами, которые нам, по-видимому, удалось успешно решить. Однако подтверждение правильности наших предположений кем-нибудь из обитателей Трехмерия было бы чрезвычайно желательным.

Я начал свой рассказ. Сфера слушала меня с неослабным вниманием. Я упомянул о тех трудностях, с которыми столкнулся доктор Пункто при измерении углов треугольников. Чтобы подчеркнуть всю важность и необычность выводов, сделанных доктором Пункто из результатов наблюдений, я подробно остановился на злоключениях, выпавших на долю ученого. Затем я рассказал Сфере, какое объяснение придумали мы странному явлению, состоящему в том, что в нашем пространстве сумма углов треугольника оказалась больше 180°. Мы предположили, что стороны треугольника не прямолинейны, а искривлены, причем в направлении, перпендикулярном нашему пространству, в силу чего кривизна сторон незаметна наблюдателям-флатландцам.

Когда я закончил свой обзор, доктор Пункто счел необходимым сообщить нашему трехмерному гостю, что честь открытия столь необычайного решения всецело принадлежит мне. В свою очередь я воздал должное заслугам доктора Пункто. Именно он первым осознал, что обнаруженная невязка не принадлежит к числу случайных ошибок и имеет под собой геометрическую основу.

Нас очень интересовало, что скажет по поводу нашего сообщения Сфера. Довольно долго та молчала. Я понял, чем заняты мысли нашего гостя: он обдумывал, как в своих рассуждениях обойти ряд трудностей, которые для нас, двумерных существ, были значительно серьезнее, чем для обитателей трехмерного пространства. Когда Сфера начала свой рассказ, нам было необычайно приятно отметить, что она поняла и природу наших затруднений, и самый ход нашего решения.

— Более того, — заявила Сфера, — ваше решение абсолютно верно. Еще раз, находясь среди вас, я подумала о том, что настало время сообщить вам более подробные сведения о форме вашего пространства, но потом у меня возникли опасения: мне не хотелось без особой необходимости насильно перестраивать ваши основные геометрические представления. Теперь я могу рассказать вам, что ваш мир, двумерное пространство, не плоский, а искривленный. Я хотела бы также объяснить вам, что это означает. Внешне ваш мир выглядит не как ровная, а как изогнутая поверхность. К сожалению, ограниченность вашего двумерного восприятия не позволяет вам представить наглядно эту картину.

— Нам понятно, о чем вы говорите, — заверил я Сферу. — Обитателю Лайнландии неизвестно, имеет его мир форму прямой или кривой, потому что лайнландец лишен способности воспринимать направление, в котором искривлен его мир. Поэтому вполне может быть, что одномерная Лайнландия в действительности имеет форму окружности и, следовательно, обладает не бесконечной, а лишь конечной протяженностью, хотя и безгранична, то есть не имеет границ, или конечных точек.

— Совершенно верно, — обрадовалась Сфера. — Пользуясь случаем, замечу, что и ваш мир устроен аналогично: он не плоский, а искривленный. Вы живете не на бесконечно протяженной плоскости, а на поверхности большой сферы.

— Не могли бы вы рассказать об этом подробнее? — попросил доктор Пункто.

— Охотно, — согласилась Сфера и продолжала: — Вы знаете и понимаете, что окружность ограничивает некую часть двумерного пространства, а сама является одномерной кривой. Аналогично в Трехмерии сфера, трехмерное тело, ограничена двумерной поверхностью, которая так и называется — поверхность сферы.

— Аналогию можно продолжить, — добавил я. — Гиперсфера, четырехмерное тело, ограничена трехмерной гиперповерхностью.

— Вы, безусловно, правы, — согласилась Сфера, — хотя я не могу представить себе это наглядно так же, как вы — поверхность сферы.