Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.
Доказательство Кантора
Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а1, a2, а3, …, где каждая цифра 0, а1, a2, а3, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).
В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод, который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4… и двоичной последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, которая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара, образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим следующие несколько пар.
Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так далее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единицами. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0, третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех предыдущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от второй — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя, что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность, для которой не найдется пары.
* * *
ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД КАНТОРА
Этот же диагональный метод наряду с понятием подмножества позволил Кантору показать, как можно построить бесконечные множества сколь угодно большого размера. Представьте множество А = {1,2,3}, образованное тремя числами 1, 2, 3. Множество подмножеств А получается, если рассмотреть все множества, которые мы можем составить из элементов А, в том числе пустое множество 0. Обозначив множество подмножеств А через Р(А), имеем:
Кантор доказал, что если множество А бесконечное, то бесконечность, соответствующая множеству подмножеств А, будет всегда больше, чем бесконечность, соответствующая исходному множеству. В своем доказательстве Кантор вновь применил диагональный метод, адаптировав его к этой задаче. Рассмотрим пары, образованные элементами множества А и множества его подмножеств Р(А). Каждый элемент х множества А будет иметь пару — множество X, составленное из элементов А. Теперь определим подмножество А, которое не будет иметь пары: это множество Y, содержащее те элементы х множества А, которые не принадлежат соответствующему множеству X.
В самом деле, если элемент х множества А принадлежит своей паре, множеству X, то, по определению Y, элемент х не принадлежит Y. Следовательно, X не = Y, так как х принадлежит X, но не Y. С другой стороны, если элемент х множества А не принадлежит своей паре Х, то, по определению Y, элемент х будет принадлежать Y. Вновь X не = Y, так как х принадлежит Y, но не X. Это доказывает, что никакой элемент х множества А не может иметь парой множество Y.
* * *
Абсолютная бесконечность и наследие Кантора
Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: словно на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно, не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со стороны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконечность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.
* * *
МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ И ДРУГИЕ ЧУДОВИЩА
Абсолютная бесконечность тесно связана с такими безграничными и невообразимыми понятиями, как, например, множество всех множеств или множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Последнее «чудовище» — главный герой парадокса, сформулированного Бертраном Расселом в 1901 году: принадлежит ли самому себе множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе? Если это множество принадлежит самому себе, то оно не будет образовано всеми множествами, которые не принадлежат сами себе. Если же оно не принадлежит самому себе, то, по определению, оно должно принадлежать самому себе.
Однако Кантор никогда не рассматривал подобные парадоксы, так как он всегда был убежден, что они не затрагивают множества и бесконечности, которые он изучал, — эти монструозные сущности, связанные с абсолютом, которые мы можем только распознать, но не познать.
Парадоксы, подобные описанным выше, возникли как результат наивного определения множества как произвольной совокупности объектов. Парадокс Рассела схож с еще одним парадоксом, опровергающим всемогущество Бога: может ли всемогущий Бог создать такой камень, который он сам не в силах будет поднять? Если он сможет создать такой камень, то не сможет поднять его и, следовательно, не будет всемогущим. Если же он не сможет создать такой камень, то вновь не будет всемогущим.
* * *
Кантор вышел победителем в схватке с бесконечностью, однако был тяжело ранен. Его исследования вызвали неприязнь части немецкого математического сообщества. Кантор хотел работать в Берлине или Геттингене, однако двери этих университетов оказались для него закрыты, и нет сомнений, что поводом для травли стала неприязнь со стороны влиятельных коллег. В 1879 году Кантор наконец получил должность преподавателя в небольшом университете Галле, где проработал всю оставшуюся жизнь.
Работы Кантора часто называли незначительными, не представляющими интереса, а когда его заслуги начали признавать, злые языки вложили в уста Анри Пуанкаре (1854–1912), одного из величайших математиков того времени, знаменитое изречение: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они вылечились». В конечном итоге на сцену вышло новое поколение математиков, которые воздали должное трудам Кантора, что привело к революции, навсегда изменившей математику. Кантор начал процесс абстрагирования, характерной чертой которого стало появление неконструктивных доказательств существования тех или иных объектов. Иными словами, после Кантора математики начали признавать существование тех или иных математических объектов, даже когда было неизвестно, как эти объекты можно построить. Кульминацией достижений Кантора стало создание теории множеств, которую Давид Гильберт, наиболее влиятельный математик того времени, назвал «раем для математиков».
