Еще одна замечательная особенность мозаик Пенроуза заключается в том, что они обладает весьма ограниченным уровнем симметрии. На первый взгляд может показаться, что мозаика на рис. 20 обладает трансляционной симметрией, тем не менее любая попытка совместить мозаику с самой собой завершается неудачей. Мозаики Пенроуза оказались асимметричными, и этим они так привлекли математиков, что стали исходным пунктом в развитии целого нового направления.

Интересно отметить, что мозаики Пенроуза эхом отозвались в материаловедении. Кристаллографы всегда считали, что структура кристаллов опирается на принципы, лежащие в основе разбиения на квадраты, обладающего высоким уровнем трансляционной симметрии. Теоретически строение кристаллов зиждется на весьма регулярной периодической структуре. Но в 1984 году ученые обнаружили металлический кристалл сплава алюминия и марганца, построенный на тех же принципах, что и мозаики Пенроуза. Мозаика сплава алюминия и марганца вела себя, как мозаика из воздушных змеев и дротиков, порождая кристалл почти регулярный, но не совсем. Недавно одна из французских компаний использовала кристалл Пенроуза в покрытии для сковород.

Если отличительной особенностью мозаик Пенроуза является их ограниченная симметрия, то отличительная особенность модулярных форм — их бесконечная, неисчерпаемая симметрия. Модулярные формы, изучением которых занимались Танияма и Шимура, можно подвергать трансляциям (параллельным переносам, или сдвигам), перестраивать, переставлять фрагменты, отражать в зеркалах и поворачивать бесконечно многими способами, и при этом они останутся неизменными, что делает их наиболее симметричными математическими объектами. Когда французский математик-универсал Анри Пуанкаре изучал модулярные формы в XIX веке, он испытал огромные трудности, пытаясь справиться с их огромной симметрией. Пуанкаре признавался своим коллегам, что получив модулярную форму частного вида, он на протяжении двух недель просыпался каждое утро в надежде найти ошибку в своих вычислениях. И только на пятнадцатый день он понял, что модулярные формы действительно обладают предельно возможной симметрией.

К сожалению, ни нарисовать, ни даже наглядно представить себе модулярную форму невозможно. В случае квадратной мозаики мы имеем объект, который обитает в двух измерениях. Его пространство задано осью x и осью y. Модулярную форму можно представлять себе как функцию, область определения которой находится в двух измерениях, но область значений которой также двумерна. Поэтому если бы мы хотели посмотреть на график такой функции, то он оказался бы в четырехмерном пространстве.

Еще одной особенностью модулярных форм является то, что на области их определения можно ввести специальную структуру, превращающую эту область в гиперболическое пространство. Людям, вынужденным жить в обычном трехмерном мире, понять, что такое гиперболический мир, довольно трудно, но с точки зрения математики именно эта особенность придает модулярным формам столь необычайно высокий уровень симметрии. Голландский художник Мориц Эшер был так увлечен математическими идеями, что попытался воплотить понятие гиперболического пространства в некоторых из своих гравюр и рисунков. На рис. 21 вы видите работу Эшера «Предельный круг. IV», на которой гиперболический мир втиснут в двумерную страницу. В истинно гиперболическом мире все летучие мыши и ангелы были бы одного размера, а повторы указывают на высокий уровень симметрии. Хотя некоторая симметрия ощутима и на рисунке, по мере продвижения к краю картины искажения усиливаются.

Рис. 21. «Предельный круг. IV» Морица Эшера содержит некоторые элементы симметрии модулярных форм

Модулярные формы появляются в различных обличьях, но каждую из форм можно представить в виде бесконечной суммы слагаемых специального вида, которые и отличают одну форму от другой. Эти бесконечные ряды, с помощью которых модулярная форма задается однозначно, называют модулярными рядами, или M-рядами.

Подобно тому, как E-ряды служат своего рода ДНК для эллиптических кривых, M-ряды играют роль ДНК для модулярных форм. Изменяя слагаемые M-ряда можно породить совершенно другую, но столь же симметричную, модулярную форму или полностью разрушить симметрию и создать новый объект, который не является модулярной формой. Если слагаемые выбраны произвольно, то построенный объект скорее всего будет обладать малой симметрией или даже будет полностью асимметричным.

Модулярные формы сами по себе играют весьма важную роль в математике. Они никак не связаны с предметом исследований Уайлса в Кембридже — эллиптическими кривыми. Модулярная форма — объект необычайно сложный, открытый только в XIX веке и ставший предметом пристального изучения главным образом из-за его симметрии. Кубические уравнения, соответствующие эллиптическим кривым, были известны с античных времен и не были никак связаны с симметрией. Модулярные формы и эллиптические кривые обитают в совершенно различных областях математического мира, и никому и в голову не приходило, что между ними существует какая-нибудь связь. Поэтому Танияма и Шимура повергли математическое сообщество в состояние шока своей гипотезой о том, что эллиптические кривые и модулярные формы по существу представляют собой одно и то же.

В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум. Для молодых японских математиков это была уникальная возможность продемонстрировать остальному миру свои результаты. Они распространили среди участников симпозиума подборку из тридцати шести задач, связанных с той проблемой, над которой они работали, предпослав задачам следующее скромное введение: «Некоторые нерешенные математические задачи. Никакого основательного предварительного исследования не проводилось. Некоторые из предлагаемых задач могут быть тривиальными или уже решенными. Обращаемся к участникам семинара с просьбой прокомментировать любые из них».

Четыре задачи были предложены Таниямой и указывали на любопытную связь между модулярными формами и эллиптическими уравнениями. Эти невинные задачи в конце концов привели к перевороту в теории чисел. Танияма смог вычислить несколько первых членов M-ряда некоторой модулярной формы и понял, что эти члены совпадают с членами E-ряда хорошо известной эллиптической кривой. Танияма вычислил еще несколько членов каждого ряда, и M-ряд модулярной формы и E-ряд эллиптической кривой полностью совпали.

Ютака Танияма (крайний слева) и Горо Шимура (крайний справа) на Международном симпозиуме в Токио (1955)

Это открытие было поразительным, потому что не было никакой видимой причины, по которой модулярную форму можно было связать с эллиптической кривой. Однако, математические ДНК (E- и M-ряды), составляющие самую сущность обоих математических объектов, оказались тождественными. Открытие Таниямы было глубоким по двум причинам. Во-первых, оно наводило на мысль о существовании фундаментальной взаимосвязи между модулярными формами и эллиптическими кривыми — разными объектами математического мира. Во-вторых, оно означало, что математикам, которые уже знали M-ряд модулярной формы, нет необходимости вычислять E-ряд для соответствующей эллиптической кривой, поскольку он в точности совпадает с M-рядом.

Установление взаимосвязи между, казалось бы, различными объектами чрезвычайно плодотворно не только в математике, но и в любой науке. Такая взаимосвязь указывает на какой-то глубокий принцип, лежащий в основе обоих объектов и позволяющий глубже понять их. Например, первоначально физики рассматривали электричество и магнетизм как совершенно не связанные между собой явления, а в XIX веке теоретики и экспериментаторы поняли, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой. В результате было достигнуто более глубокое понимание и электричества, и магнетизма. Электрические токи порождают магнитные поля, а магниты могут индуцировать электричество в проводниках, находящихся вблизи магнитов. Это привело к изобретению динамомашин и электромоторов. В конце концов было открыто, что свет представляет собой результат согласованных гармонических колебаний магнитного и электрического полей.