В итоге рассматривается непротиворечивость, независимость и полнота принятой системы аксиом. Эта работа представляет важный и интересный пример развёрнутого аксиоматического изложения одной из математических теорий. К работам в области геометрии относятся следующие:

1. Линейные многообразия четырёхмерной геометрии и их истолкование в системе «пространство — время». Написана работа в 1949 г.

2. Учебник аналитической геометрии для студентов пединститутов. Написан в 1934 г. и неоднократно переиздавался.

3. Героновы треугольники. Издана в 1959 г. на румынском языке.

4. Как найти площадь фигуры с произвольным контуром. Напечатана в 1923 г.

5. Разыскивание радиуса круга по сторонам вписанного в него неправильного многоугольника. Напечатана в 1931 г.

III. Исследования в области методики преподавания математики

Третьим направлением в творческой деятельности В.М. Брадиса было совершенствование методики преподавания математики в средней и высшей школе: подготовка программ, учебников и методических пособий для студентов педвузов и учителей; подготовка программ и учебников для средней школы; подготовка научных кадров через аспирантуру.

Методические идеи В.М. Брадиса сложились в результате огромного опыта преподавательской деятельности с различным контингентом учащихся в разнообразных учебных заведениях: в школах, в математических кружках, на учительских курсах, на рабфаке, в пединституте. Критическое отношение к своей работе и работе товарищей, глубокий анализ приемов обучения и их результатов способствовали тому, что у В.М. Брадиса к 1945 г. при 40-летнем педагогическом стаже выработался твёрдый взгляд на методику преподавания математики. В.М. Брадис считал, что, во-первых, совершенствование методики преподавания математики в средней школе и вузе должно идти по пути сближения школьной математики с математикой как наукой и, во-вторых, по пути сближения с требованиями жизни. Это означало повышение теоретического уровня преподавания математики и показ её практического применения. На всех ступенях изучения математики большое внимание должно уделяться роли индукции, что будет способствовать ясному пониманию и твёрдому усвоению математических фактов.

В годы войны В.М. Брадис впервые и единственный раз прочёл для студентов математического факультета курс «Методика преподавания математики». Результатом было написание книги с тем же названием. Это был первый в Советском Союзе учебник для студентов физмата по методике преподавания математики, в котором излагались идеи как общей методики преподавания, так и вопросы преподавания всех разделов математики, изучаемых в средней школе. До 1949 г. не существовало подобного учебника, были пособия по методике преподавания отдельных предметов и даже вопросов. Например, методика арифметики, алгебры, геометрии, методика обучения решению арифметических задач, решению задач с помощью составления уравнений, решению задач на доказательство, задач по стереометрии и т.д. Это создавало большие трудности при подготовке студентов к экзаменам по методике, так как требовалось найти целый ряд пособий, освещающих все вопросы программы, суммарный объём которых значительно превышал объём нового учебника. При этом некоторые вопросы, например учёт знаний, организация домашней работы, организация повторения и другие, рассматривались несколько раз, т.е. в разных пособиях, а часть вопросов оказывалась вне внимания авторов, например вопросы истории математики, воспитание чувства национальной гордости и др. С появлением учебника эти трудности исчезли.

Преподаватели методики математики приветствовали появление учебника и отмечали ряд преимуществ:

1) обеспечивался единый подход к изложению отдельных разделов курса;

2) исчезла необходимость многократного рассмотрения одних и тех же вопросов методики: планирования, организации учёта знаний, повторения и т.д.;

3) учебник широко охватывал все стороны работы учителя и давал сжатые, конкретные, обоснованные методические рекомендации. Особое внимание уделялось решению вопросов, возникающих у начинающих учителей. Например, молодых учителей затрудняет необходимость правильно оценить работу учащихся. «Методика» даёт исчерпывающее указание на то, какие требования должны быть предъявлены к устным и письменным ответам учащихся, какие из них являются обязательными, какие желательными, невыполнение каких требований обесценивает работу учащихся, и выполнение каких повышает её оценку;

4) «Методика...» написана с далёкой перспективой. В ней кратко и чётко изложено много интересных передовых педагогических и методических идей, некоторые из них стали осуществляться 15 лет спустя, когда были внесены изменения в программу математики средней школы. Например, «Методика» содержит рекомендации по теме «Приближенные вычисления», которые стали изучаться в школах с 1960 г. После этих работ в школьных сборниках задач появились задачи не с искусственно подобранными числовыми данными, против которых так энергично выступал В.М. Брадис, а жизненные задачи, для решения которых необходимо знание правил действий с приближенными данными. В связи с этим в «Методике...» имеются указания по проведению практических работ на местности, измерению отдельных элементов фигур и вычислению других, что впоследствии стало предусматриваться программой математики. В ряде мест рекомендуется найти рациональные и быстрые приёмы вычислений, используя арифмометр, конторские счёты, таблицы и счётную линейку, составление схемы вычислений и др.;

5) в «Методике...» рекомендуется чаще прибегать к индукции (на любом этапе изучения математики), с помощью которой можно помочь ученику обнаружить и сформулировать сложные зависимости. Например, с помощью переливания жидкости из пирамиды в параллелепипед с таким же основанием и высотой установить формулу объёма пирамиды, с помощью сравнения расхода шнура на покрытие поверхности полушара и площади его большого круга установить формулу поверхности шара.

В младших классах средней школы (6—7-х) рекомендуется привлекать учащихся к изготовлению наглядных пособий из бумаги, применять вырезание, перегибание, вращение, что помогает установить зависимости между элементами фигуры и формулировать их. (Чтобы обеспечить соответствующую подготовку учителей, в учебный план физмата в 50—60-х гг. вводятся практикумы по моделированию, т.е. изготовлению наглядных пособий, и измерению на местности);

6) если существуют различные методические приёмы изучения какого-либо вопроса, то в «Методике...» все они рассматриваются, указываются преимущества и недостатки каждого, обосновывается, почему одному из них следует отдать предпочтение;

7) показывается применение теорем к решению математических задач и задач с практическим содержанием;

8) многие вопросы рассматриваются на двух уровнях: для неполной средней школы и для средней школы. Например, тригонометрические функции, развитие понятия числа, построение курса геометрии;

9) «Методика...» содержит рассмотрение вопросов, не включённых в программу средней школы, они напечатаны мелким шрифтом и предназначены для желающих углубить свои знания;

10) в «Методике...» рассматриваются этапы развития математики, приводятся биографии выдающихся математиков Советского Союза и других стран. Сообщение этих сведений на уроках математики развивает интерес к предмету. Знакомство с достижениями русских математиков — Лобачевского, Чебышёва и других — способствует воспитанию чувства национальной гордости и патриотизма;

11) после каждой главы учебника — методика арифметики, методика алгебры и т.д. — даётся исчерпывающая библиография, соответствующая периоду издания книги и рекомендуемая учителям и студентам для углубления изучения вопроса;

12) учителя отмечают, что во всех сомнительных случаях, обратившись к «Методике...», можно найти исчерпывающий ответ и разрешить вопрос;

13) без преувеличения можно сказать, что книга В.М. Брадиса явилась своего рода энциклопедией методики преподавания математики и сделалась настольной книгой каждого учителя математики. Она переиздавалась три раза (в 1949, 1951, 1954 г.) и до сих пор популярна.