SeP — «Все S не есть Р » — «Все дельфины не есть рыбы»,

SoP — «Некоторые S не есть Р » — «Некоторые металлы не есть жидкости».

Отношения между терминами в четырех видах категорических высказываний представляются с помощью кругов Эйлера следующим образом:

Некоторые отношения между четырьмя видами категорических высказываний графически представляются так называемым логическим квадратом.

Противоречащие высказывания (SaP и SoP; SeP и SiP) не могут быть одновременно истинными и ложными; если одно из них истинно, то другое ложно. Так, если высказывание «Все киты дышат лёгкими» истинно, то высказывание «Некоторые киты не дышат лёгкими» ложно. Если высказывание «Некоторые медведи — не бурые» истинно, то высказывание «Все медведи — бурые» ложно.

Противные высказывания (SaP и SeP), в отличие от противоречащих, могут вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными. Так, высказывания «Все спортсмены — гроссмейстеры» и «Ни один спортсмен не гроссмейстер» оба ложны. Поскольку высказывание «У всех людей есть головы» истинно, то высказывание «Ни у одного человека нет головы» ложно; и если высказывание «Все металлы не являются газами» истинно, то высказывание «Все металлы — газы» ложно.

Подпротивные высказывания (SiP и SoP) не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Так, если высказывание «Некоторые овцы — хищники» ложно, то высказывание «(По меньшей мере) некоторые овцы не являются хищниками» истинно. Высказывания же «Некоторые спортсмены — футболисты» и «Некоторые спортсмены не футболисты» оба истинны.

В отношении подчинения находятся попарно высказывания SaP и SiP, SeP и SoP. Из подчиняющего высказывания логически следует подчинённое: из SaP вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Это означает, что из истинности подчиняющего высказывания логически следует истинность подчинённого, и из ложности подчинённого следует ложность подчиняющего. К примеру, из высказывания «Все киты являются млекопитающими» следует высказывание «Некоторые киты млекопитающие», а из высказывания «Все металлы не являются сжимаемыми» следует высказывание «Некоторые металлы не сжимаемы».

Ещё раз подчеркнём, что противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р » и «Некоторые S не есть Р » и высказывания «Все S не есть Р » и «Некоторые S есть Р ». Высказывания же «Все S есть Р » и «Все S не есть Р », а также высказывания «Некоторые S есть Р » и «Некоторые S не есть Р » не противоречат друг другу.

Логические связи категорических высказываний, представляемые логическим квадратом, можно представить также в форме непосредственных умозаключений, т.е. умозаключений из одной посылки.

Противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р » и «Некоторые S не есть Р », а также высказывания «Все S не есть Р » и «Некоторые S есть Р ». Это означает, что являются правильными следующие, в частности, непосредственные умозаключения:

Все S есть Р.

Неверно, что некоторые S не есть Р.

Из высказывания «Все совы — птицы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые совы не являются птицами».

Некоторые S не есть Р.

Неверно, что все S есть Р.

Из высказывания «Некоторые учёные не химики» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все учёные химики».

Все S не есть Р.

Неверно, что некоторые S есть Р.

Из высказывания «Все киты не рыбы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые киты — рыбы».

Некоторые S есть Р.

Неверно, что все S не есть Р.

Из высказывания «Некоторые жидкости упруги» непосредственно следует высказывание «Неверно, что все жидкости неупруги».

Противные высказывания (SaP и SeP) не могут быть вместе истинными.

Все S есть Р.

Неверно, что все S не есть Р.

Из высказывания «Все летающие имеют крылья» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все летающие не имеют крыльев».

Все S не есть Р.

Неверно, что все S есть Р.

Из высказывания «Все категорические высказывания не являются условными» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все категорические высказывания — условные».

Из подчиняющего высказывания логически следует подчинённое:

Все S есть Р.

Некоторые S есть Р.

Из высказывания «Все люди дышат лёгкими» непосредственно вытекает высказывание «(По меньшей мере) некоторые люди дышат лёгкими».

Все S не есть Р.

Некоторые S не есть Р.

Из высказывания «Все тигры не птицы» непосредственно вытекает высказывание «Некоторые тигры не птицы».

Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) — это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических высказываний выводится новое категорическое высказывание.

Логическая теория такого рода умозаключений называется силлогистикой. Она была создана ещё Аристотелем и долгое время служила образцом логической теории вообще.

В силлогистике выражения «Все … есть …», «Некоторые … есть …», «Все … не есть …» и «Некоторые … не есть…» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не высказывания, а определённые логические формы, из которых получаются высказывания путём подстановки вместо многоточий каких-то имён. Подставляемые имена называются терминами силлогизма.

Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными.

Примером силлогизма может быть:

Все жидкости упруги.

Вода — жидкость.

Вода упруга.

В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, больший и средний.

Меньшим термином называется субъект заключения (в примере таким термином является термин «вода»).

Большим термином именуется предикат заключения («упруга»). Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним («жидкость»). Меньший термин обозначается обычно буквой S, больший — буквой Р и средний — буквой М. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей. Большая посылка записывается первой, меньшая — второй. Логическая форма приведённого силлогизма такова:

Все М есть Р.

Все S есть М.

Все S есть Р.

В зависимости от положения среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках) различаются четыре фигуры силлогизма. Схематически фигуры изображаются так:

По схеме первой фигуры построен силлогизм:

Все птицы (М) имеют крылья (Р).

Все страусы (S) — птицы (М).

Все страусы имеют крылья.

По схеме второй фигуры построен силлогизм:

Все рыбы (Р) дышат жабрами (М).

Киты (S) не дышат жабрами (М).

Все киты не рыбы.

По схеме третьей фигуры построен силлогизм:

Все бамбуки (М) цветут один раз в жизни (Р).

Все бамбуки (М) — многолетние растения (S).

Некоторые многолетние растения цветут один раз в жизни.

По схеме четвёртой фигуры построен силлогизм:

Все рыбы (Р) плавают (М).