Задача 5. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Сравниваем две монеты; если они уравновесятся, то фальшивая монета — третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она — фальшивая.

Задача 6.Перерисуй по клеткам отрезок АВ

Задача 7.Третьеклассник Валера выполнял заданный на дом пример, когда началась его любимая передача. Его младшая сестренка Даша, любившая больше математику, чем мультики, подошла к столу и увидела такую запись в Валериной тетрадке:

Даша не знала таблицу умножения, но умела складывать любые числа и была сообразительной девочкой. Поэтому она сумела закончить пример, так что Валера даже сказал ей спасибо. Как Даша смогла это сделать?

Результаты умножения числа 952 на 3 и на 4 уже известны. Осталось умножить 952 на 7. Это можно сделать, сложив имеющиеся произведения, так как 7 = 3 + 4. Затем можно сообразить, куда вписать полученный результат, и произвести окончательное сложение.

Ответ:

Задача 8.Попытайся понять, как составлена эта последовательность: 720, 360, 120, 30. Напиши еще два ее члена.

Решение получается в результате обсуждения способов получения 360 из 720 и так далее. 360 можно получить из 720 вычитанием или делением. Вычитание числа 360 не приводит к получению третьего числа. Деление на 2 — приводит. Следующее число получается делением числа 360 на 3, т. е. 360 : 3 = 120. Число 30 получается делением числа 120 на 4.

Ответ: Каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, деленному на 2, потом на 3, потом на 4. Два следующих члена 6 и 1.

Задача 9. Отец старше сына на 30 лет. Сохранится ли это соотношение на будущий год?

На будущий год отец станет на 1 год старше, и сын станет на 1 год старше. Поэтому разность между их возрастами не изменится. Можно подойти к решению и немного иначе, сказав, что отцу в момент рождения сына было 30 лет, и этот факт не меняется с годами.

Ответ: Да.

Задача 10. Илья стоит в хороводе. 5-й слева от Ильи тот же, что и 6-й справа. Сколько людей в хороводе?

Решение видно из рисунка:

Между Ильей и пятым слева (назовем его Жорой) 4 человека. Между Ильей и шестым справа (а это тот же Жора) 5 человек. Итого в хороводе Илья, Жора и еще 4 + 5 = 9 человек.

Ответ: 11.

Задача 11. В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по 4 колеса. Сколько каких автомобилей в гараже, если колес всего 3024?

1) Сколько было бы колес, если бы все автомобили были легковыми?

4 · 750 = 3000.

2) Сколько колес имеется потому, что среди автомобилей есть грузовые?

3024 — 3000 = 24.

3) На сколько колес больше у грузового автомобиля, чем у легкового?

6 — 4= 2.

4) Сколько автомобилей — грузовые?

24 : 2 = 12.

5) Сколько автомобилей — легковые?

750 — 12 = 738.

Решение полезно проверить:

1) Сколько колес у 738 легковых автомобилей?

4 · 738 = 2952.

2) Сколько колес у 12 грузовых автомобилей?

6 · 12 = 72.

2) Сколько всего колес?

2952 + 72 = 3024.

Ответ: 738 легковых и 12 грузовых.

Задача 12.Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых — нечетные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

На первое место можно поставить любую из пяти нечетных цифр. На второе — любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты двадцатью способами: 13_, 15_, 17_, 19_; 31_,35_, 37_, 39_; 51_, 53_, 57_, 59_; 71_ 73_, 75_, 79_; 91_, 93_, 95_, 97_.

В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 13_ третье место можно занять цифрами 5, 7 или 9. Значит, всего чисел получится 60. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из пяти цифр, второй — любая из четырех оставшихся цифр, третьей — любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 5 · 4 · 3 = 60.

Ответ: 60 чисел.

Задача 13.Путь, который прошли туристы за понедельник, изображается на карте отрезком в 3 см, а путь, пройденный во вторник, — отрезком в 15 мм. В какой день они прошли больше и во сколько раз?

Отрезок в 15 мм в два раза меньше, чем отрезок в 3 см. Поэтому во вторник туристы прошли меньше, чем в понедельник, и притом в два раза.

Ответ: В понедельник пройден путь в два раза больший, чем во вторник.

Задача 14.Человек отвечает на вопросы только «да» или «нет» и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: «Ты уже соврал?», и он ответил «Нет». Остается ли за ним право соврать при ответе на следующие вопросы?

Он не мог соврать, потому что это была бы вторая ложь. Поэтому право соврать один раз за ним остается.

Ответ: Да.

Задача 15. Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепочки. И они, поразмыслив, смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. Как они это сделали?

Чтобы в первый день отдать одно кольцо, придется его отпилить. Но это можно сделать так, чтобы от цепи отделилось еще одно кольцо или еще два кольца для расплаты за следующий день. Более выгоден второй вариант.

Ответ: Если распилить одно только третье кольцо, то можно расплачиваться за каждый день. В первый день отдать распиленное кольцо, во второй забрать его и отдать два отпиленных кольца, в третий день добавить к ним распиленное кольцо, в четвертый день забрать все обратно и отдать четыре кольца и т. д.

Задача 16.Перерисуй по клеткам отрезок АВ:

Задача 17.Какой цифрой оканчивается выражение 2974 · 5698–4325 · 1748?

Первое произведение оканчивается на 2, второе на 0, значит, разность оканчивается на 2.

Ответ: 2.

Задача 18. Гном разложил свои сокровища в 3 сундука разного цвета, стоящие у стены: в один — драгоценные камни, в другой — золотые монеты, в третий — магические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги — правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зеленый сундук стоит левее синего?