Ответ:3.

Задача 65. Среди девяти монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как двумя взвешиваниями установить, какая монета фальшивая?

Смотри задачу 45.

Задача 66. Сумма трех различных чисел равна их произведению. Что это за числа?

Осуществляется подбором. 1 + 2 + 3 = 1 — 2 — 3 = 6.

Ответ: 1, 2 и 3.

Задача 67. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 79 · 25 83 · 16 — 43288?

Уменьшаемое является произведением, содержащим множитель 25 и множитель 16, а значит, делится на 100. Значит, уменьшаемое оканчивается двумя нулями, а все выражение — цифрами 12.

Ответ: 12.

Задача 68. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 2, 20, 40, 400, 800.

Второе число получается из первого умножением на 10, третье из второго — умножением на 2, далее снова умножением на 10 и т. д. Можно и дальше действовать так же, чередуя умножение на 10 и на 2.

Ответ: 2, 20, 40, 400, 800, 8000, 16000…

Задача 69. Часы отбивают каждый час столько ударов, сколько они показывают часов, а каждые полчаса — один удар. Сколько ударов сделают они с часу дня до двенадцати часов ночи?

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) + 11.

Ответ: 89.

Задача 70. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря: ТСЕХСУЗРЯЗ — ПГХЯ ЦЪЗРЯВ.

Решение получается из рисунка:

Ответ: ПОВТОРЕНЬЕ — МАТЬ УЧЕНЬЯ.

Задача 71. Размести числа от 1 до 9 в клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 3 не может стоять в угловой клетке?

Смотри задачу 59.

Ответ: Один из возможных квадратов:

Число 3 не может стоять в угловой клетке, так как 3 входит только в две тройки, дающие в сумме 15 (3 + 4 + 8 и З + 5 + 7), а угловая клетка входит в один столбец, в одну строку и в одну диагональ, то есть участвует в трех суммах.

Задача 72. В концерте решено исполнить произведения Глинки для симфонического оркестра: Вальс-фантазию, Арагонскую хоту, Камаринскую и «Ночь в Мадриде». Сколькими способами можно установить порядок их исполнения?

На первое место можно поставить любое из четырех произведений, на второе — любое из трех оставшихся. Значит, выбор первых двух произведений можно осуществить 12 способами. В любом из этих способов третьим можно поставить любое из двух оставшихся произведений. Так что первые три произведения можно назвать 24 способами. Теперь последнее произведение определяется однозначно — это то, которое не названо среди первых трех. Значит, всего можно определить порядок следования произведений 24 способами. Кратко это решение можно высказать так: первым может быть исполнено любое из четырех музыкальных произведений, вторым — любое из трех оставшихся, третьим — любое из двух оставшихся, четвертым — одно оставшееся; значит, всего таких программ 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Задача 73. 6 котов за 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за 100 минут съесть 100 мышей?

Обычный ответ: «100 котов» — неверен. Правильный ответ: «6 котов». Чтобы это понять, полезно себе представить 6 котов как единую «бригаду», которая за 6 минут съедает 6 мышей, а значит, в 1 минуту съедает 1 мышь. Но тогда она съест 100 мышей за 100 минут, что и требуется.

Ответ: 6.

Задача 74. Сколько разломов придется сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные кусочки?

Скорее всего, дети будут подсчитывать число разломов при некотором выборе порядка действий. Например, двумя разломами разделить шоколадку на три полоски, а потом каждую полоску шестью разломами разделить на отдельные 7 кусочков:

Получается 2 + 6 · 3 = 20 разломов. Или сначала шестью разломами разделить шоколадку на семь полосок по 3 куска в каждом, а потом двумя разломами разделить каждую полоску на отдельные кусочки:

Получается 6 + 2 · 7 = 20 разломов. Но нужно объяснить, что способов разлома существует много (сколько? — отдельная задача!). Возможен такой вариант:

А во-вторых, не странно ли совпадение ответов? В любом случае получится 20 разломов потому, что первоначально мы имеем 1 (большой) кусок шоколада, а в конце должны получить 21 (маленький) кусочек. А каждый разлом увеличивает число кусков на 1. Первый разлом — два куска, второй — три, и так далее. Двадцатый разлом — 21 кусок.

Ответ: 20.

Задача 75. 6 человек стоят у лифта 7-этажного дома. Они живут на разных этажах, от 2 до 7. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж — неудовольствие, подняться на один этаж — двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?

Смотри решение задачи 29. Если лифт остановится на этаже не ниже 4, то жилец 3 этажа должен идти пешком. Сумма неудовольствий при остановке на 6 этаже минимальна — равна 10 (два для жильца 2 этажа, три для жильца 3 этажа, два для жильца 4 этажа, одно для жильца 5 этажа и два для жильца 7 этажа). Желательно составить таблицу, аналогичную той, что дана в задаче 29. При остановке лифта на 7 этаже можно заставить жильца 3 этажа идти пешком для экономии электроэнергии.

Ответ: На 6 этаже.

Задача 76. Перерисуй по клеткам угол АВС.

Задача 77. Какими двумя цифрами оканчивается выражение

3573 · 3574 · 3575 · 3578 — 3579.

Уменьшаемое содержит множитель 3575, делящийся на 25, и множители 3574 и 3578, делящиеся на 2. Значит, уменьшаемое делится на 100, а все выражение оканчивается на 21.

Ответ: На 21.

Задача 78. Два кладоискателя хотят разделить добычу поровну, чтобы никто не мог сказать, что его обманули при дележе. У них нет никаких средств для измерения добычи или ее частей, кроме собственного глазомера. Как им быть?

Ответ: Один делит на две равные (по его мнению) части, а другой выбирает ту часть, которая ему больше нравится.

Задача 79. В классе все дети изучают английский и французский языки. Из них 17 человек изучают английский, 15 человек — французский, а 8 человек изучают оба языка одновременно. Сколько учеников в классе?