Ответ: 1 или 2.

Задача 55. Имеются 5 монет. Три из них имеют массу по 10 г каждая. Об остальных двух монетах известно, что они имеют одинаковую массу, а на вид не отличаются от 10-граммовых. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну монету в 10 г?

Надо сравнить массы любых двух монет. Потом надо сравнить массы еще двух монет. Если в обоих случаях весы уравновесились или в обоих случаях не уравновесились, то пятая монета — 10-граммовая. Если в одном из случаев весы уравновесились, а в другом не уравновесились, то уравновесившиеся монеты — 10-граммовые.

Ответ: Надо сравнивать массы монет, кладя на каждую чашу весов по одной монете.

Задача 56. Перерисуй по клеткам угол АВС:

Задача 57. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 2539 + 4873 + 2965 + 8427 + 6461?

Крайние слагаемые дают число, делящееся на 100, также и вторые от концов. Значит, сумма оканчивается на 65.

Ответ: 65.

Задача 58. Компьютер написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал компьютер?

9 однозначных чисел написано 9 цифрами, 90 двузначных написано 180 цифрами, 900 трехзначных 2700 цифрами, число 1000 — четырьмя цифрами, итого 2893 цифры.

Ответ: 2893.

Задача 59. Разместить числа от 0 до 8 в клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 4 должно стоять в центре квадрата?

Первая часть задачи может быть решена подбором. Но еще лучше решить ее с помощью рассуждений, как это сделано здесь.

1) Найдем сумму всех чисел от 0 до 8. Она равна 36.

2) Найдем сумму чисел в каждом из трех столбцов (или, что то же, в каждой из трех строк или в каждой из двух диагоналей). Она равна 36 : 3 = 12.

3) Выпишем все тройки чисел от 1 до 8, дающие в сумме 12:

0 + 4 + 8 = 0 + 5 + 7 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7 = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5.

4) В центр поместим число, имеющееся в четырех таких тройках. Это число 4:

5) В один из углов поместим число, имеющееся в трех таких тройках. Это, например, число 1:

6) Заполним еще один угол так, чтобы сумма чисел в диагонали равнялась 12:

7) Заполним еще один угол любым из оставшихся чисел, входящих в три тройки (например, числом 5):

8) Закончим работу, следя за тем, чтобы каждая сумма в строках, столбцах и диагоналях равнялась 12.

Ответ: Один из возможных квадратов:

Число 4 должно стоять в центре, так как это единственное число, входящее в четыре тройки, дающие в сумме 12, а центральная клетка входит в один столбец, в одну строку и в две диагонали, то есть участвует в четырех суммах.

Задача 60. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(___— 254) · (585 + 2) = 0.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, но второй множитель не равен нулю, значит, равен нулю первый множитель. Получается, что ___ — 254 = 0, а значит, пропущено число 254.

Ответ: 254.

Задача 61. 1 февраля 1900 г. была пятница. Каким днем недели было 1 марта 1900 г.?

В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней прошло с 1 февраля 1900 г. до 1 марта 1900 г. (так как 1900 г. в григорианском календаре был невисокосным, то в феврале было 28 дней; заметим, что, в отличие от юлианского календаря («старого стиля») в григорианском календаре годы, оканчивающиеся двумя нулями являются високосными лишь в том случае, если они делятся на 400 : 1800 и 1900 — невисокосные, а 2000, 1600 и 2400 — високосные);

2) каким днем является день «пятница + 28 дней» (так как 28 дней — это ровно 4 недели, то «пятница + 28 дней» — снова пятница).

Ответ: 1 марта 1900 г была пятница.

Задача 62. Пятеро друзей обменялись рукопожатиями. Сколько произошло рукопожатий?

Каждый должен сделать по четыре рукопожатия; значит, всего, как будто бы, получится 4 · 5 = 20 рукопожатий. Однако, при таком подсчете каждое рукопожатие учитывается два раза: ведь в одном рукопожатии участвуют двое. Поэтому на самом деле рукопожатий вдвое меньше: 4 · 5 : 2 = 10.

В правильности такого решения можно убедиться, сделав к задаче чертеж:

Каждый из друзей обозначается на нем точкой. Точек пять. А рукопожатие обозначается отрезком, соединяющим две точки. Так отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что друзья А и В пожали друг другу руку. Видно, что отрезков всего 10.

Еще лучше — представить задачу в явном виде. К доске вызываются пять учеников и судья. Первый ученик пожимает остальным руки. Судья записывает число произведенных рукопожатий: 4. Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски четверо. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. Судья записывает: 3. Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только трем ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше. Следующему остается пожать две руки, следующему — только одну. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку. Судья записал: 4, 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 10.

Ответ: 10.

Задача 63. В кастрюле сварили 2 л супа, положив в него 15 г соли. Сколько соли окажется в одной тарелке, если в нее налить 400 г супа?

Так как соль растворена в супе, то можно считать, что в равных количествах супа содержатся равные количества соли. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всего супа составляет одна тарелка. Можно считать, что 2 л супа имеют массу 2 кг, а потому в первом действии следует разделить 2 кг на 400 г.

2 кг : 400 г = 2000 г : 400 г = 5,

поэтому одна тарелка составляет одну пятую часть кастрюли. Значит, и соли в тарелке одна пятая часть, то есть 15 г: 5 = 3 г.

Ответ: 3 г.

Задача 64. Компьютер выписал подряд все натуральные числа от 1 до 1000. Какая цифра оказалась на тысячном месте?

Сначала было написано девять однозначных чисел 9 цифрами, потом еще девяносто двузначных чисел 180 цифрами:

Итого после написания всех чисел от 1 до 99 было написано 189 цифр. От 1 до 999 было написано 2889 цифр. Значит, тысячная цифра содержалась в трехзначном числе. Первое трехзначное число содержало с 190-й по 192-ю цифру. Чтобы добраться до тысячной цифры надо написать 1000 — 189 = 811 цифр, начиная с числа 100. На каждое число уходит 3 цифры. Значит, нужно написать 811 : 3 = 270 полных чисел и еще одну цифру. 270-е число после числа 99 — это число 371. Тысячная цифра — первая цифра числа 372.