Начнем с рассмотрения простого случая: спин 1/2; таким спином обладают, например, электрон и нуклоны (протон и нейтрон). (Спин 0 мы рассматривать не будем, поскольку он  слишкомпрост — в этом случае спин может находиться лишь в одном, сферически симметричном, состоянии.) Все состояния спина 1/2 являются линейными суперпозициями двух состояний: скажем, правого спина вокруг оси, направленной вертикально вверх(обозначим это состояние через |↑〉) и правого спина вокруг оси, направленной вертикально вниз (обозначим |↓〉); см. рис. 5.15. Таким образом, в общем случае состояние спина можно представить в виде комплексной комбинации | ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉. На практике же каждой такой комбинации соответствует вполне определенное состояние спина (величины 1/2 ħ) частицы, при котором отношение комплексных коэффициентов wи zопределяет направление оси спина. Выбор направлений ↑ и ↓ достаточно условен: для однозначного описания состояния спина сгодилась бы и любая другая пара направлений.

Попробуем представить все вышесказанное в более явном и геометрически наглядном виде. Такое представление поможет нам увидеть, что комплексные весовые коэффициенты w и z вовсе не являются такими уж абстрактными конструкциями, какими они могли показаться на первый взгляд. Более того, к геометрии пространства они имеют самое непосредственное отношение. (Мне думается, такие геометрические воплощения понравились бы Кардано и, возможно, облегчили бы его «мучения разума» — впрочем, и квантовая теория вполне исправно снабжает наши разумы все новыми мучениями!)

Для начала будет весьма полезно ознакомиться со ставшим уже стандартным представлением комплексных чисел в виде точек на плоскости. (У этой плоскости много названий: плоскость Арганда, плоскость Гаусса, плоскость Весселя или просто  комплекснаяплоскость.) Идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие комплексному числу  z=  x+  iy(где  xи  y— вещественные числа) точку, координаты которой в некоторой заданной прямоугольной системе координат равны ( x, y) (см. рис. 5.16). Таким образом, например, четыре комплексных числа 1, 1 + i,  iи 0 образуют на комплексной плоскости квадрат. Существуют простые геометрические правила для отыскания суммы и произведения двух комплексных чисел (см. рис. 5.17). Отрицательное комплексное число — zнаходится отражением точки, соответствующей числу z, относительно начала координат; комплексное сопряженное z— отражением точки z относительно оси x.

Модуль комплексного числа равен расстоянию от соответствующей этому числу точки до начала координат; квадрат модуля, таким образом, равен квадрату этого расстояния. Точки, расстояние от которых до начала координат равно единице, образуют единичную окружность (см. рис. 5.18). Этим точкам соответствуют комплексные числа с единичным модулем, называемые иногда чистыми фазами; эти числа можно записать в виде

здесь θ— вещественное число, равное величине угла между прямой, соединяющей начало координат с соответствующей этому числу точкой, и осью x. [39]

Теперь выясним, как в таком представлении выглядят  отношениякомплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное число состояние не претерпевает физических изменений (например, если помните, состояния —2| F〉 и | F〉 мы полагали физически одинаковыми). Таким образом, в общем случае, состояние | ψ〉 физически идентично состоянию u| ψ〉 при любом ненулевом комплексном u. Применительно к состоянию

умножение  wи  zна одно и то же ненулевое комплексное число и не приведет к какому-либо изменению физического феномена, соответствующего этому состоянию. Физически различными спиновые состояния могут быть только в том случае, если их векторы состояний характеризуются различными отношениями z: w(а при  u≠ 0 отношения  uz:  uwи z: wравны).

Как же изобразить комплексное отношение геометрически? Существенное отличие комплексного отношения от просто комплексного числа заключается в том, что в качестве значения комплексного отношения допускается не только конечное комплексное число, но и бесконечность(обозначается символом ∞). Так, если рассматривать, в общем случае, отношение z: wкак эквивалент «одиночного» комплексного числа z/ w, то при w= 0 мы сталкиваемся с некоторыми, мягко говоря, затруднениями. Для того чтобы этих затруднений избежать, математики условились в случае w= 0 полагать число z/ wравным бесконечности. Такая ситуация возникает, например, в состоянии «спин вниз»: | ψ〉 =  z|↓〉 = 0|↑〉 + z|↓〉. Вспомним, что нулю не могут быть равны оба коэффициента (т.е. и w, и zодновременно), поэтому случай w= 0 вполне допустим. (Мы могли бы вместо z/ wвзять отношение w/ z, если оно по каким-либо причинам понравилось бы нам больше; тогда символ ∞ понадобился бы нам для случая  z= 0, что соответствует состоянию «спин вверх». Никакой разницы между этими двумя описаниями нет.)

Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо ∞. Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т.е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z: w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку P, соответствующую комплексному числу  p= z/ w (допустим пока, что w≠ 0), а затем проецируем эту точку  Pв точку P' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс Sсферы. Иначе говоря, мы проводим через точки Sи  Pпрямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку P'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс Sпри таком отображении соответствует комплексному отношению ∞. В самом деле, представим себе, что точка  Pкомплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка P' на сфере окажется при этом очень близко от полюса  S— в пределе, когда модуль комплексного числа  pустремляется к бесконечности, точки P' и  Sсовпадают.