В последующих разделах (особенно, в §§3.2-3.22) я представлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычислительных моделей  Aи  Bвыступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу ( §3.23). Если у вас затем появится желание вернуться к пропущенным рассуждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.

 Согласно выводу G, для того чтобы математическое понимание могло оказаться результатом выполнения некоего алгоритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непознаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математики «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алгоритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедура (см. §1.5), т.е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсуждения возражения Q8, §2.6, «неограниченность» объема памяти в данном идеализированном случае на результаты рассуждения никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусственных нейронных сетей (см. §1.5). Этому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвиновской эволюции (см. §3.11).

О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в  главе 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в §§3.9-3.22(краткое изложение их можно найти в воображаемом диалоге, §3.23). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нисходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениям Q11и Q12, §2.10, рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алгоритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значительным образом. Возможно также, что разные люди постигают истину посредством различных необоснованныхи  непознаваемыхалгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько позже (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгоритмическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматриваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство Π ₁-высказываний (т.е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне достаточно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку G**).

В зависимости от познаваемости предположительно 

лежащей в основе математического понимания алгоритмической процедуры F(будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедура Fможет быть:

Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. Поскольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них ужезнаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения имеют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритм Fнам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели ( §2.9), такой алгоритм эффективно эквивалентен формальной системе F. Иными словами, получается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить выводу G, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система Fявляется необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная система Fявляется действительно известной, то есть любой математик знаети, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик позволяет себе не верить в самые фундаментальные положения собственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Независимо от того, является ли система Fдействительно обоснованной, верав ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G( F) (или, как вариант, Ω( F), см. §2.8) истинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утверждения G( F) в рамках системы Fнедоказуема, это противоречит предположению о том, что система Fявляется основой всякого(существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сообщества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Более того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отношение к доказательству Π ₁-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необоснованный алгоритм F, предположительно лежащий в основе математического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Следовательно, случай  Iисключается, независимо от того, является система Fобоснованной или нет. Если система Fсама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система Fвсе же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система Fявляется как неосознаваемой, так и непознаваемой.