Пожалуй, следует немного подробнее остановиться на том, что может обозначать определение «алгоритмически изменяющийся» применительно к алгоритму A. Допустим, что алгоритм Aзависит не только от qи n, но и еще от одного параметра t, который можно рассматривать как «время», а можно как просто количество предшествующих настоящему моменту случаев активации нашего алгоритма. Как бы то ни было, мы можем также предположить, что параметр tявляется натуральным числом, и записать следующий ряд алгоритмов A t( q, n):
A 0( q, n), A 1( q, n), A 2( q, n), A 3( q, n), …,
каждый элемент которого предположительно является обоснованной процедурой для установления незавершаемости вычисления C q( n); при этом мы будем считать, что мощность этих процедур возрастает по мере увеличения t. Предполагается также, что способ, посредством которого увеличивается мощность этих процедур, является алгоритмическим. Возможно, этот «алгоритмический способ» зависит некоторым образом от «опыта» выполнения предыдущих алгоритмов A t( q, n), однако в данном случае мы предполагаем, что этот «опыт» порождается также алгоритмически (в противном случае мы снова приходим к согласию с G), т.е. мы имеем полное право включить «опыт» (или способы его порождения) в перечень операций, составляющих следующий алгоритм (т.е., собственно, в A t( q, n)). Действуя таким образом, мы опять-таки получаем единичныйалгоритм ( A t( q, n)), который зависит алгоритмически от всех трехпараметров: t, q, n. На его основе можно построить алгоритм A*, столь же мощный, что и весь ряд A t( q, n), однако зависящий только от двух натуральных чисел: qи n. Для получения такого A*( q, n) нам, как и прежде, необходимо лишь выполнить первые десять шагов алгоритма A 0( q, n) и запомнить результат; затем первые десять шагов алгоритма A 1( q, n) и вторые десять шагов алгоритма A 0( q, n), запоминая получаемые результаты; затем первые десять шагов алгоритма A 2( q, n). вторые десять шагов алгоритма A 1( q, n), третьи десять шагов алгоритма A 0( q, n) и т.д., запоминая получаемые на каждом шаге вычисления результаты. В конечном итоге, сразу после завершения любогоиз составляющих алгоритм вычислений завершается выполнение и всей процедуры в целом. Замена процедуры Aпроцедурой A* никак не влияет на ход рассуждений, посредством которых мы пришли к выводу G.
Q3. Не был ли я излишне категоричен, утверждая, что в тех случаях, когда уже можно определенно утверждать, что данное вычисление C q( n) и вправду завершается, алгоритм Aвсе равно должен выполняться бесконечно? Допусти мы, что Aв таких случаях также завершается, все наше рассуждение оказалось бы ложным. В конце концов, общеизвестно, что присущая людям способность к интуитивному пониманию позволяет им порой делать заключение о возможности завершения того или иного вычисления, однако я, судя по всему, здесь этой способностью пренебрег. Не слишком ли много искусственных ограничений?
Вовсе нет. Предполагается, что наше рассуждение применимо лишь к тому пониманию, которое позволяет заключить, что вычисление незавершается, но никак не к тому пониманию, благодаря которому мы приходим к противоположному выводу. Гипотетический алгоритм Aвовсе не обязан достигать «успешного завершения», обнаружив что то или иное вычисление завершается. Не в этом заключается его смысл.
Если вас такое положение дел не устраивает, попробуйте представить алгоритм Aследующим образом: пусть A объединяет в себе оба вида понимания, но в том случае, когда выясняется, что вычисление C q( n) действительно завершается, алгоритм Aискусственно зацикливается (т.е. выполняет какую-то операцию снова и снова, бесконечное количество раз). Разумеется, на самом деле математики работают иначе, однако дело не в этом. Наше рассуждение построено как reductio ad absurdum [12], т.е. начав с допущения, что для установления математической истины используются заведомо обоснованные алгоритмы, мы в итоге приходим к противоположному выводу. Такое доказательство не требует, чтобы гипотетическим алгоритмом непременно оказался какой-то конкретный алгоритм A, мы вполне можем заменить его на другой алгоритм, построенный на основе A, — как, например, в только что упомянутом случае.
Этот комментарий применим и к любому другому возражению вида: «А что если алгоритм Aзавершится по какой-либо совершенно посторонней причине и не даст нам доказательства того, что вычисление C q( n) не завершается?». Если нам вдруг придется иметь дело с алгоритмом « A», который ведет себя подобным образом, то мы просто применим представленное в §2.5обоснование к немного другому A— к такому, который зацикливается всякий раз, когда исходный « A» завершается по любой из упомянутых посторонних причин.
Q4. Судя по всему, каждое вычисление C qв предложенной мною последовательности C 0, C 1, C 2, … является вполне определенным, тогда как при любом прямом переборе (численном или алфавитном) компьютерных программ ситуация, конечно же, была бы иной?
В самом деле, было бы весьма затруднительно однозначно гарантировать, что каждому натуральному числу qв нашей последовательности действительно соответствует некое рабочее вычисление C q. Например, описанная в НРК последовательность машин Тьюринга T qэтому условию, конечно же, не удовлетворяет; см. НРК, с. 54. При определенных значениях q машину Тьюринга T qможно назвать «фиктивной» по одной из четырех причин: ее работа никогда не завершается; она оказывается «некорректно определенной», поскольку представление числа nв виде двоичной последовательности содержит слишком много (пять или более) единиц подряд и, как следствие, не имеет интерпретации в данной схеме; она получает команду, которая вводит ее в нигде не описанное внутреннее состояние; или же по завершении работы она оставляет ленту пустой, т.е. не дает никакого численно интерпретируемого результата. (См. также Приложение А.) Для приведенного в §2.5доказательства Гёделя—Тьюринга вполне достаточно объединить все эти причины в одну категорию под названием «вычисление не завершается». В частности, когда я говорю, что вычислительная процедура A «завершается» (см. также примечание [9]), я подразумеваю, что она «завершается» как раз в вышеупомянутом смысле (а потому не содержит неинтерпретируемых последовательностей и не оставляет ленту пустой), — иными словами, «завершиться» может только действительно корректно определенное рабочее вычисление. Аналогично, фраза «вычисление C q( n) завершается» означает, что данное вычисление корректно завершается именно в этом смысле. При такой интерпретации соображение Q4не имеет совершенно никакого отношения к представленному мною доказательству.
